Bogenlängenrechner

Was ist ein Bogenlängenrechner?

Ein Bogenlängenrechner ermittelt die Länge eines gekrümmten Abschnitts entlang des Randes eines Kreises. Der Bogen ist der Teil des Umfangs, der zwischen zwei Punkten auf dem Kreis liegt, und seine Länge hängt von zwei Faktoren ab: wie weit jeder Punkt vom Mittelpunkt entfernt ist (der Radius) und wie groß der Winkel im Mittelpunkt zwischen ihnen ist (der Zentralwinkel).

Dieser Rechner arbeitet in drei Richtungen. Wenn Sie den Radius und den Winkel kennen, gibt er die Bogenlänge zurück. Wenn Sie die Bogenlänge und einen der beiden anderen Werte kennen, ermittelt er den fehlenden Wert. Sie können den Winkel in Grad oder Radianten eingeben und den Radius sowie die Bogenlänge in jeder gängigen Längeneinheit.

Wichtige Konzepte

• Radius (r) — der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zu einem Punkt auf seiner Grenze.
• Zentralwinkel (θ) — der Winkel, der im Mittelpunkt des Kreises durch zwei Radien gebildet wird, die zu den Endpunkten des Bogens gezogen werden.
• Bogenlänge (L) — die entlang der Kurve zurückgelegte Strecke von einem Endpunkt des Bogens zum anderen.
• Radiant — die natürliche Einheit für Winkel in dieser Formel. Ein Radiant ist der Winkel, der einen Bogen aufspannt, dessen Länge dem Radius entspricht. Ein voller Kreis entspricht $2\pi$ Radianten oder 360 Grad.

Wie funktioniert der Rechner?

Die Beziehung zwischen Bogenlänge, Radius und Zentralwinkel ist linear, wenn der Winkel in Radianten ausgedrückt wird. Der Rechner wandelt den Winkel intern in Radianten um und wendet dann die Formel in der vom Benutzer benötigten Richtung an.

Formeln

Wenn der Winkel in Radianten ist:

Wenn der Winkel in Grad ist:

Umgestellt nach dem Radius:

Umgestellt nach dem Winkel:

Berechnungsbeispiele

Beispiel 1: Bogenlänge aus Radius und Winkel

Ein Kreis hat einen Radius von 10 cm und Sie möchten die Länge des Bogens ermitteln, der von einem Zentralwinkel von 90° aufgespannt wird.

Beispiel 2: Bogenlänge aus Radius und Radianten

Für einen Radius von 5 m und einen Zentralwinkel von 2 Radianten:

Beispiel 3: Radius aus Bogenlänge und Winkel

Ein 15,708 cm langer Bogen wird durch einen 90°-Winkel begrenzt. Der Radius ist:

Beispiel 4: Winkel aus Bogenlänge und Radius

Ein Bogen von 15,708 cm auf einem Kreis mit Radius 10 cm entspricht:

Beispiel 5: Vollständige Umdrehung

Für einen Radius von 1 und einen Winkel von 360° ist die Bogenlänge der gesamte Umfang des Kreises: $L = 2\pi \cdot 1 \approx 6{,}2832$.

Praktische Anwendungen

• Ingenieurwesen und Fertigung — Anlegen von gekrümmten Schienen, Rohren, Riemen oder Riemenscheiben, bei denen eine Länge gekrümmten Materials einem bekannten Winkel entsprechen muss.
• Bauwesen und Architektur — Messen der gekrümmten Kanten von Bögen, Kuppeln oder Kreisverkehrsabschnitten.
• Vermessung und Kartografie — Berechnung von Entfernungen entlang von Breitengraden oder gekrümmten Grenzen.
• Näh- und Schnittmustererstellung — Berechnung des für kreisförmige oder ausgestellte Teile benötigten Stoffes (dies ist dieselbe Berechnung, die dem Rechner für die Fläche eines Kreissektors zugrunde liegt).
• Sport — Ermittlung der Strecke, die ein Athlet um den gekrümmten Teil einer Laufbahn zurücklegt.

Hinweise

• Radius und Winkel müssen beide positiv sein, damit das Ergebnis sinnvoll ist.
• Ein Winkel von 0° ergibt eine Bogenlänge von 0 — die beiden Endpunkte fallen zusammen.
• Beim Auflösen nach dem Radius aus einer Bogenlänge und einem Winkel darf der Winkel nicht 0 sein; beim Auflösen nach dem Winkel darf der Radius nicht 0 sein.
• Die Einheiten des Radius und der Bogenlänge stimmen überein: Ein Radius in Metern ergibt eine Bogenlänge in Metern. Beim Wechsel der Einheitenauswahl wird das Ergebnis automatisch umgerechnet.