Binäre Additionsrechner

Was ist die binäre Addition?

Die binäre Addition ist eine der grundlegenden Operationen in der digitalen Elektronik und Informatik. Sie operiert mit Binärzahlen — Zahlensystemen, die nur aus den Ziffern 0 und 1 bestehen. Sie bildet die Basis aller digitalen Berechnungen, da jedes Datenstück oder jeder Vorgang in einem Computer letztendlich in binärer Form dargestellt wird.

Genauso wie das Dezimalsystem auf Potenzen von zehn basiert, basiert das Binärsystem auf Potenzen von zwei. Der Prozess der Addition von Binärzahlen folgt ähnlichen Prinzipien wie die dezimale Addition, aber die Regeln sind einfacher, da nur zwei Ziffern beteiligt sind. Die möglichen Kombinationen beim Addieren zweier Binärziffern sind wie folgt:

• 0 + 0 = 0
• 0 + 1 = 1
• 1 + 0 = 1
• 1 + 1 = 10 (was 0 mit einem Übertrag von 1 in die nächsthöhere Bitposition ist)

Dieses einfache Regelwerk ist die Grundlage dafür, wie Computer Addition auf Hardwareebene ausführen.

Wie man Binärzahlen addiert

Bei der dezimalen Addition, wenn wir zwei Ziffern addieren, die 9 übersteigen, übertragen wir 1 in die nächste Spalte. Bei der binären Addition tritt ein ähnlicher Vorgang auf, wenn zwei 1en addiert werden – denn $1 + 1 = 10_2$, wobei das Ergebnis 0 ist und ein Übertrag von 1 erfolgt.

Wenn mehrere Bits zusammenaddiert werden, beeinflusst der Übertrag von jeder Position die nächsthöhere Bitposition. Zum Beispiel, beim Addieren von $1101_2$ und $1011_2$, addieren Sie Bit für Bit von rechts nach links:

• $1 + 1 = 10_2$ → schreibe 0, Übertrag 1
• $1 (Übertrag) + 1 + 0 = 10_2$ → schreibe 0, Übertrag 1
• $1 (Übertrag) + 0 + 1 = 10_2$ → schreibe 0, Übertrag 1
• $1 (Übertrag) + 1 + 1 = 11_2$ → schreibe 1, Übertrag 1

Also, $1101_2 + 1011_2 = 11000_2$.

Wie der Rechner funktioniert

Anstatt manuelle Umrechnungen oder Bit-für-Bit-Additionen auszuführen, wendet der Rechner automatisch drei Hauptschritte an:

1. Umwandlung in Dezimal: Jedes Binäreingabe wird zuerst in seine dezimale Entsprechung umgewandelt.
2. Addition: Der Rechner summiert die Dezimalwerte.
3. Umwandlung zurück in Binär: Die resultierende Summe in Dezimalform wird dann zurück in Binär umgewandelt, um angezeigt zu werden.

Diese Methode garantiert genaue Ergebnisse, selbst bei der Addition mehrerer Zahlen — zwei, drei, vier oder mehr — und erspart den Benutzern manuelle Fehlsummen in Binäraddition.

Sie können beide Methoden verwenden, um Binärzahlen hinzuzufügen.

Formel

Das rechnerische Prinzip hinter dem Rechner kann wie folgt ausgedrückt werden:

1. Umwandlung von Binär zu Dezimal

Für eine Binärzahl $b_n b_{n-1} \dots b_1 b_0$:

$$D = \sum_{i=0}^{n} b_i \times 2^i$$

wobei $b_i$ entweder 0 oder 1 ist und $D$ die dezimale Entsprechung ist.

2. Summation in Dezimalform

Wenn es $k$ Binärzahlen $B_1, B_2, \dots, B_k$ gibt, werden ihre Dezimalentsprechungen $D_1, D_2, \dots, D_k$ bestimmt und addiert:

$$S = D_1 + D_2 + \dots + D_k$$

3. Umwandlung von Dezimal zu Binär

Die endgültige Dezimalsumme $S$ wird dann durch wiederholte Division durch 2 zurück in Binär umgewandelt:

$$\text{Binär}(S) = \text{Reste von der Division } S \text{ durch } 2, \text{ in umgekehrter Reihenfolge gelesen}$$

Beispiele

Beispiel 1: Zwei Binärzahlen addieren

Lassen Sie uns zwei Binärzahlen addieren: 1011 und 1101.

Schritt 1: Umwandlung in Dezimal.
$1011_2 = 1×8 + 0×4 + 1×2 + 1×1 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11_{10}$
$1101_2 = 1×8 + 1×4 + 0×2 + 1×1 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13_{10}$

Schritt 2: Addieren der Dezimalzahlen.
$11 + 13 = 24$

Schritt 3: Umwandlung des Ergebnisses zurück in Binär.

$24_{10} = 11000_2$.

Endergebnis:
$1011_2 + 1101_2 = 11000_2$

Beispiel 2: Drei Binärzahlen addieren

Jetzt summieren wir drei Werte: 101, 111 und 1000.

Schritt 1: Umwandlung in Dezimal.
$101_2 = 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 5_{10}$
$111_2 = 1 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 7_{10}$
$1000_2 = 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 0 \times 2^0 = 8_{10}$

Schritt 2: Addieren in Dezimal.
$5 + 7 + 8 = 20$

Schritt 3: Umwandlung von 20 zurück zu Binär.

$20_{10} = 10100_2$

Also, $101_2 + 111_2 + 1000_2 = 10100_2$

Beispiel 3: Zwei gebrochene Binärzahlen addieren

Lassen Sie uns zwei gebrochene Binärzahlen addieren: $0.101_2$ und $0.111_2$.

Schritt 1: Umwandlung in Dezimal. $0.101_2 = 1 \times 2^{-1} + 0 \times 2^{-2} + 1 \times 2^{-3} = 0,625_{10}$ $0.111_2 = 1 \times 2^{-1} + 1 \times 2^{-2} + 1 \times 2^{-3} = 0,875_{10}$

Schritt 2: Addieren in Dezimal. $0,625 + 0,875 = 1,5$

Schritt 3: Umwandlung von 1,5 zurück in Binär.

Bruchteil:

Also, $0.101_2 + 0.111_2 = 1.1_2$

Häufig gestellte Fragen

Wie addiert man die Binärzahlen 1010 und 111 in diesem Rechner?

Zuerst jedes in Dezimal umwandeln: $1010_2 = 10_{10}$, $111_2 = 7_{10}$. Dann ausführen $10 + 7 = 17$. Zurück in Binär umwandeln: $17_{10} = 10001_2$. Somit $1010_2 + 111_2 = 10001_2$.

Kann ich mehr als zwei Binärzahlen auf einmal addieren?

Ja. Der Rechner unterstützt mehrere Eingabefelder und ermöglicht die Addition von drei, vier oder mehr Binärzahlen gleichzeitig. Der gleiche Umwandlungsprozess — Binär zu Dezimal, Summierung, dann zurück zu Binär — sorgt für präzise Ergebnisse.

Unterstützt dieser Rechner die Addition von gebrochenen Binärzahlen?

Ja. Der Rechner unterstützt die Addition von gebrochenen Binärzahlen.