Sechseck-Rechner

Was ist ein Sechseck-Rechner?

Der Sechseck-Rechner ist ein Allzweckwerkzeug für das regelmäßige Sechseck, die sechsseitige Figur mit gleichen Seiten und gleichen Winkeln. Gib eines seiner Maße ein, und jede andere Größe erscheint sofort: die Seitenlänge, die Fläche, der Umfang, die lange und die kurze Diagonale, der Umkreisradius und der Inkreisradius. Er ist nützlich für Schüler, die Geometrieaufgaben lösen, für Bastler, die Fliesen oder Schrauben zuschneiden, und für alle, die ein Wabenmuster anlegen, denn das regelmäßige Sechseck taucht immer wieder auf, weil es eine Ebene lückenlos füllt.

Eigenschaften eines regelmäßigen Sechsecks

Ein regelmäßiges Sechseck hat sechs gleiche Seiten und sechs Innenwinkel von je 120 Grad. Es lässt sich in sechs gleiche gleichseitige Dreiecke zerlegen, die sich im Mittelpunkt treffen, weshalb sein Umkreisradius — der Abstand vom Mittelpunkt zu einer Ecke — genau gleich der Seitenlänge ist. Das Sechseck hat zwei Arten von Diagonalen: drei lange Diagonalen, die durch den Mittelpunkt verlaufen und gegenüberliegende Ecken verbinden, und sechs kurze Diagonalen, die eine Ecke überspringen. Die lange Diagonale ist doppelt so lang wie die Seite, während die kurze Diagonale gleich der Seite mal der Quadratwurzel aus drei ist.

Wie funktioniert der Rechner?

Gib einen Wert in ein beliebiges Feld ein, und der Rechner ermittelt daraus zuerst die Seitenlänge und füllt dann alle übrigen Eigenschaften aus. So kannst du von der Seite, der Fläche, dem Umfang, einer der beiden Diagonalen, dem Umkreis- oder dem Inkreisradius ausgehen und erhältst stets eine vollständige Beschreibung des Sechsecks. Jedes Längenfeld akzeptiert verschiedene Einheiten, und die Umrechnungen dazwischen erfolgen automatisch.

Formeln

Mit der Seitenlänge $a$ beträgt die Fläche eines regelmäßigen Sechsecks:

Der Umfang ist das Sechsfache der Seite:

Die lange Diagonale (Ecke zur gegenüberliegenden Ecke) und die kurze Diagonale (Ecke mit einer übersprungenen Ecke) sind:

Der Umkreisradius $R$ (Mittelpunkt zur Ecke) ist gleich der Seite, und der Inkreisradius $r$ (Mittelpunkt zur Seitenmitte, auch Apothem genannt) beträgt:

wobei $A$ die Fläche, $P$ der Umfang, $D$ und $d$ die lange und die kurze Diagonale, $R$ der Umkreisradius, $r$ der Inkreisradius und $a$ die Seitenlänge ist.

Beispiele

1. Ein regelmäßiges Sechseck mit einer Seite von 10 cm:

2. Rückwärts gerechnet aus einem Umfang von 60 cm ergibt sich die Seite $60 / 6 = 10$ cm, was alle obigen Werte reproduziert.

Praktische Hinweise

• Da der Umkreisradius gleich der Seite ist, passt ein regelmäßiges Sechseck genau in einen Kreis, dessen Radius die Seitenlänge ist — praktisch, wenn man es mit dem Zirkel zeichnet.
• Der Inkreisradius wird auch Apothem genannt; er ist der Radius des größten Kreises, der in das Sechseck passt.
• Für Figuren mit einer anderen Seitenzahl verallgemeinern der Rechner für die Fläche eines regelmäßigen Vielecks und der Rechner für den Umfang eines regelmäßigen Vielecks diese Formeln.

FAQs

Wie finde ich die Fläche eines regelmäßigen Sechsecks?

Quadriere die Seitenlänge und multipliziere mit $\frac{3\sqrt{3}}{2}$. Für eine Seite von 10 beträgt die Fläche $\frac{3\sqrt{3}}{2}\times 100 \approx 259.81$.

Was ist der Unterschied zwischen der langen und der kurzen Diagonale?

Die lange Diagonale verbindet zwei gegenüberliegende Ecken und verläuft durch den Mittelpunkt, daher ist sie gleich $2a$. Die kurze Diagonale verbindet zwei durch eine Ecke getrennte Ecken und ist gleich $\sqrt{3}\,a$, was kürzer ist.

Warum ist der Umkreisradius gleich der Seite?

Ein regelmäßiges Sechseck zerfällt in sechs gleichseitige Dreiecke, die sich im Mittelpunkt treffen. Jedes Dreieck hat den Abstand vom Mittelpunkt zur Ecke und die Seite als zwei seiner gleichen Kanten, daher ist der Umkreisradius genau die Seitenlänge.

Was ist das Apothem eines Sechsecks?

Das Apothem ist der Inkreisradius — der Abstand vom Mittelpunkt zur Mitte einer Seite. Für ein regelmäßiges Sechseck beträgt es $\frac{\sqrt{3}}{2}\,a$, etwa das 0.866-fache der Seite.