Rechner für die Geradengleichung aus zwei Punkten

Was ist eine Geradengleichung aus zwei Punkten?

Je zwei verschiedene Punkte, die nicht senkrecht übereinander liegen, bestimmen genau eine Gerade. Dieser Rechner nimmt die Koordinaten dieser beiden Punkte, $(x_1, y_1)$ und $(x_2, y_2)$, und gibt die Gleichung der Geraden in der Steigungs-Achsenabschnitts-Form zurück:

wobei $m$ die Steigung (wie steil die Gerade ist) und $b$ der y-Achsenabschnitt ist (wo die Gerade die senkrechte Achse schneidet). Der Rechner gibt die Steigung, den y-Achsenabschnitt und die zusammengesetzte Gleichung an.

Wie funktioniert es?

Die Berechnung erfolgt in zwei Schritten.

Schritt 1 — die Steigung. Die Steigung ist das Verhältnis der vertikalen Änderung zur horizontalen Änderung zwischen den beiden Punkten:

Schritt 2 — der y-Achsenabschnitt. Sobald die Steigung bekannt ist, setzen Sie einen der beiden Punkte wieder in $y = mx + b$ ein und lösen nach $b$ auf:

Mit $m$ und $b$ in der Hand lautet die Gleichung einfach $y = mx + b$.

Beispiele

Beispiel 1: eine Gerade durch den Ursprung

Für die Punkte $(0, 0)$ und $(2, 4)$:

Die Gleichung lautet $y = 2x$. Da der y-Achsenabschnitt null ist, verläuft die Gerade durch den Ursprung.

Beispiel 2: eine positive Steigung mit negativem Achsenabschnitt

Für die Punkte $(1, 1)$ und $(3, 7)$:

Die Gleichung lautet $y = 3x - 2$. Die Gerade schneidet die y-Achse zwei Einheiten unter dem Ursprung.

Beispiel 3: eine waagerechte Gerade

Für die Punkte $(1, 2)$ und $(5, 2)$:

Die Gleichung lautet $y = 0x + 2$, einfacher geschrieben $y = 2$. Eine Steigung von null bedeutet, dass die Gerade flach ist.

Was ist mit senkrechten Geraden?

Wenn die beiden Punkte dieselbe x-Koordinate haben ($x_1 = x_2$), ist der Lauf $x_2 - x_1$ null und die Steigung undefiniert — man kann nicht durch null teilen. Eine solche Gerade ist senkrecht, und ihre Gleichung lautet $x = x_1$, was sich nicht in der Form $y = mx + b$ schreiben lässt. In diesem Fall lässt der Rechner Steigung, y-Achsenabschnitt und Gleichung leer.

Hinweise

• Die Steigung allein verrät Ihnen die Richtung der Geraden; kombinieren Sie dieses Werkzeug mit dem Steigungsrechner, wenn Sie nur diese benötigen.
• Die Reihenfolge der beiden Punkte spielt keine Rolle. Vertauscht man sie, negiert das sowohl den Zähler als auch den Nenner der Steigung, sodass $m$ unverändert bleibt, und der y-Achsenabschnitt ergibt sich derselbe.
• Der Mittelpunkt-Rechner findet den Punkt in der Mitte zwischen den beiden Koordinaten, der stets auf dieser selben Geraden liegt.

Häufig gestellte Fragen

Wie lautet die Gleichung der Geraden durch (1,1) und (3,7)?

Die Steigung ist $3$ und der y-Achsenabschnitt ist $-2$, also lautet die Gleichung $y = 3x - 2$.

Wie finde ich den y-Achsenabschnitt aus zwei Punkten?

Berechnen Sie zunächst die Steigung $m$ und setzen Sie dann einen Punkt in $b = y_1 - m x_1$ ein. Für $(1,1)$ mit $m = 3$ ergibt das $b = 1 - 3 = -2$.

Warum gibt es keine Gleichung für zwei senkrecht übereinanderliegende Punkte?

Wenn beide Punkte dieselbe x-Koordinate haben, ist die Gerade senkrecht, ihre Steigung ist undefiniert, und sie lässt sich nicht als $y = mx + b$ ausdrücken. Ihre Gleichung lautet stattdessen $x = x_1$.