Rechner für die Mitternachtsformel

Was ist ein Rechner für die Mitternachtsformel?

Ein Rechner für die Mitternachtsformel löst eine quadratische Gleichung der Form $a x^2 + b x + c = 0$ nach ihren reellen Wurzeln. Sie geben die drei Koeffizienten ein — den Leitkoeffizienten $a$, den linearen Koeffizienten $b$ und das konstante Glied $c$ — und der Rechner liefert die Diskriminante zusammen mit den beiden reellen Lösungen $x_1$ und $x_2$, jeweils auf vier Dezimalstellen gerundet.

Eine quadratische Gleichung ist eine Polynomgleichung zweiten Grades, das heißt, die höchste Potenz der Unbekannten ist zwei. Solange $a \neq 0$ gilt, beschreibt die Gleichung eine Parabel, und ihre reellen Wurzeln sind genau die Punkte, an denen diese Parabel die horizontale Achse schneidet.

Wie funktioniert es?

Die Wurzeln werden mit der Mitternachtsformel ermittelt:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Der Ausdruck unter der Wurzel, $b^2 - 4ac$, wird Diskriminante genannt und üblicherweise als $\Delta$ geschrieben:

$\Delta = b^2 - 4ac$

Die Diskriminante verrät Ihnen, wie viele reelle Wurzeln die Gleichung hat, noch bevor Sie sie berechnen:

• Wenn $\Delta > 0$, gibt es zwei verschiedene reelle Wurzeln.
• Wenn $\Delta = 0$, gibt es eine doppelte reelle Wurzel (die beiden Lösungen fallen zusammen).
• Wenn $\Delta < 0$, gibt es keine reellen Wurzeln — die Lösungen sind ein komplex-konjugiertes Paar, sodass der Rechner die Wurzelfelder leer lässt.

Der Rechner setzt außerdem $a \neq 0$ voraus. Wenn $a = 0$ ist, ist die Gleichung nicht mehr quadratisch, sondern linear, sodass keine quadratischen Wurzeln ausgegeben werden.

Anwendungsbeispiele

Beispiel 1 — zwei Wurzeln. Lösen Sie $x^2 - 3x + 2 = 0$, also $a = 1$, $b = -3$, $c = 2$.

$\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$

Das ergibt $x_1 = 2$ und $x_2 = 1$.

Beispiel 2 — eine doppelte Wurzel. Lösen Sie $x^2 + 2x + 1 = 0$, also $a = 1$, $b = 2$, $c = 1$.

$\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4 - 4 = 0$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{0}}{2} = -1$

Beide Wurzeln sind gleich $-1$, dem einzigen Punkt, an dem die Parabel die Achse berührt.

Beispiel 3 — keine reellen Wurzeln. Lösen Sie $x^2 + 1 = 0$, also $a = 1$, $b = 0$, $c = 1$.

$\Delta = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -4$

Da $\Delta < 0$ ist, gibt es keine reellen Lösungen, sodass der Rechner nur die Diskriminante zurückgibt und die Wurzelfelder leer lässt.

Praktische Hinweise

Das Vorzeichen ist wichtig: Geben Sie $b$ und $c$ genau so ein, wie sie erscheinen, einschließlich des Minuszeichens, also tippen Sie -3 für $b$ im ersten Beispiel. Die Ergebnisse werden auf vier Dezimalstellen gerundet, was für das Zeichnen von Graphen, Physik und ingenieurtechnische Arbeiten meist völlig ausreicht, aber bedeutet, dass irrationale Wurzeln wie $\sqrt{2}$ als ihre dezimale Näherung angezeigt werden.

Die Mitternachtsformel ist eng mit anderen Algebra-Werkzeugen verwandt. Sobald Sie die Wurzeln haben, können Sie die Gleichung in faktorisierter Form $a(x - x_1)(x - x_2)$ wieder aufbauen, was natürlich an einen Faktor-Rechner anknüpft. Der Wurzelschritt im Herzen der Formel verallgemeinert die Idee hinter einem Kubikwurzel-Rechner, und die quadrierten Terme hängen mit dem Potenzieren von Zahlen über einen Exponenten-Rechner zusammen.