Rechner für die Fläche eines regelmäßigen Fünfecks

Was ist ein Rechner für die Fläche eines regelmäßigen Fünfecks?

Ein Rechner für die Fläche eines regelmäßigen Fünfecks ermittelt die Fläche, die von einem fünfseitigen Polygon eingeschlossen wird, dessen Seiten alle gleich lang sind und dessen Innenwinkel alle 108° betragen. Die einzige Messung, die Sie benötigen, ist die Seitenlänge — jede andere Abmessung (das Apothem, die Diagonale, der Umkreisradius) ist durch die Geometrie festgelegt, sobald die Seite bekannt ist.

Dieses Werkzeug nimmt eine einzelne Seitenlänge in einer beliebigen gängigen Einheit entgegen und gibt die Fläche in der entsprechenden Quadrat-Einheit zurück. Beim Wechsel der Einheit für die Seite oder die Fläche wird das Ergebnis automatisch umgerechnet.

Wichtige Konzepte

• Seitenlänge (s) — die Länge einer der fünf gleichen Kanten des Fünfecks.
• Apothem (a) — der senkrechte Abstand vom Mittelpunkt des Fünfecks zum Mittelpunkt einer beliebigen Seite. Für ein regelmäßiges Fünfeck gilt $a = \frac{s}{2 \tan(36°)}$.
• Innenwinkel — jeder der fünf Innenwinkel eines regelmäßigen Fünfecks beträgt 108°.
• Goldener Schnitt — das regelmäßige Fünfeck ist bekanntlich mit $\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ verknüpft; das Verhältnis einer beliebigen Diagonalen zu einer Seite ist gleich $\varphi$.

Wie funktioniert der Rechner?

Die Fläche eines regelmäßigen Fünfecks hängt vom Quadrat der Seitenlänge multipliziert mit einer Konstanten ab. Diese Konstante ergibt sich, wenn man das Fünfeck in fünf kongruente gleichschenklige Dreiecke zerlegt, die sich im Mittelpunkt treffen, die Fläche jedes Dreiecks berechnet und sie summiert.

Formel

Eine äquivalente Form auf der Grundlage des Apothems, die nützlich ist, wenn Sie das Apothem bereits kennen, lautet:

wobei $P = 5s$ der Umfang und $a$ das Apothem ist.

Berechnungsbeispiele

Beispiel 1: Seite = 10 cm

Beispiel 2: Seite = 1

Dies ist die dimensionslose Konstante: die Fläche eines regelmäßigen Fünfecks mit Einheitsseite.

Beispiel 3: Seite = 5

Beispiel 4: Überprüfung über das Apothem

Für $s = 10$ cm ist das Apothem $a = \frac{10}{2 \tan(36°)} \approx 6{,}8819$ cm, also

was mit Beispiel 1 übereinstimmt.

Praktische Anwendungen

• Architektur und Design — Anlegen von fünfeckigen Böden, Fliesen, Pavillons oder Fenstern.
• Ingenieurwesen — Bemessung fünfeckiger Querschnitte von Schrauben, Muttern und tragenden Bauteilen.
• Kartografie und Planung — Schätzung der Grundfläche fünfeckiger Grundstücke oder Gebäude (das Pentagon in Arlington ist das berühmteste Beispiel).
• Mathematik und Bildung — Veranschaulichung des goldenen Schnitts, Demonstration, dass regelmäßige Polygone geschlossene Formeln für die Fläche besitzen, und Vergleich mit dem Rechner für die Fläche regelmäßiger Polygone für allgemeines $n$.

Hinweise

• Die Seitenlänge muss positiv sein, damit das Ergebnis sinnvoll ist; eine Seite von null ergibt eine Fläche von null.
• Die Einheiten der Seite und der Fläche stimmen überein: Eine Seite in Metern ergibt eine Fläche in Quadratmetern. Beim Wechsel der Einheitenauswahl wird das Ergebnis automatisch umgerechnet.
• Für andere regelmäßige Polygone siehe den Rechner für die Fläche eines regelmäßigen Sechsecks und den Rechner für die Fläche eines regelmäßigen Achtecks.