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Mathematik

Volumenrechner für reguläre Pyramiden

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Was ist eine reguläre Pyramide?

Eine reguläre Pyramide ist eine dreidimensionale geometrische Form mit einem regelmäßigen Polygon als Basis und dreieckigen Flächen, die in einem einzigen Punkt namens Apex zusammenlaufen. Der Apex steht senkrecht zum Mittelpunkt der Basis. Beispiele sind die ägyptischen Pyramiden (quadratische Basen) und antike Zikkurate (rechteckige Basen).

Hauptmerkmale:

  • Regelmäßige Basis: Alle Seiten und Winkel des Basispolygons sind gleich.
  • Apex-Ausrichtung: Der Apex befindet sich direkt über dem Schwerpunkt der Basis.
  • Symmetrie: Die dreieckigen Flächen (Seitenflächen) sind kongruent.

Formel für das Volumen einer regulären Pyramide

Das Volumen VV einer regulären Pyramide wird berechnet mit:

V=13×Basisfla¨che×Ho¨heV = \frac{1}{3} \times \text{Basisfläche} \times \text{Höhe}

Hierbei ist die Höhe die senkrechte Entfernung von der Spitze zur Basis.

Basisflächenformeln für reguläre Polygone

  1. Dreieck (3 Seiten):
Basisfla¨che=34×Seitenla¨nge2\text{Basisfläche} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \text{Seitenlänge}^2
  1. Quadrat (4 Seiten):
Basisfla¨che=Seitenla¨nge2\text{Basisfläche} = \text{Seitenlänge}^2
  1. Fünfeck (5 Seiten):
Basisfla¨che=52×Seitenla¨nge×Apothem\text{Basisfläche} = \frac{5}{2} \times \text{Seitenlänge} \times \text{Apothem}
  1. Sechseck (6 Seiten):
Basisfla¨che=332×Seitenla¨nge2\text{Basisfläche} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times \text{Seitenlänge}^2

Das Apothem (Abstand vom Mittelpunkt des Polygons zu einer Seite) für ein regelmäßiges Polygon mit nn Seiten lautet:

Apothem=Seitenla¨nge2tan⁡(πn)\text{Apothem} = \frac{\text{Seitenlänge}}{2 \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)}

Beispiele für Volumenberechnungen

Beispiel 1: Quadratische Pyramide

Problem: Eine Pyramide hat eine quadratische Basis mit einer Seitenlänge von 8 cm und eine Höhe von 12 cm. Bestimmen Sie ihr Volumen.
Lösung:

  1. Basisfläche:
82=64 cm28^2 = 64 \, \text{cm}^2
  1. Volumen:
V=13×64×12=256 cm3V = \frac{1}{3} \times 64 \times 12 = 256 \, \text{cm}^3

Beispiel 2: Sechseckige Pyramide

Problem: Eine sechseckige Pyramide hat eine Seitenlänge von 6 cm und eine Höhe von 15 cm. Berechnen Sie ihr Volumen.
Lösung:

  1. Basisfläche:
332×62=332×36=93,53 cm2\frac{3\sqrt{3}}{2} \times 6^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 36 = 93{,}53 \, \text{cm}^2
  1. Volumen:
V=13×93,53×15=467,64 cm3V = \frac{1}{3} \times 93{,}53 \times 15 = 467{,}64 \, \text{cm}^3

Beispiel 3: Fünfeckige Pyramide

Problem: Eine fünfeckige Pyramide hat eine Seitenlänge von 4 cm, ein Apothem von 2,75 cm und eine Höhe von 10 cm. Bestimmen Sie ihr Volumen.
Lösung:

  1. Basisfläche:
52×4×2,75=27,5 cm2\frac{5}{2} \times 4 \times 2{,}75 = 27{,}5 \, \text{cm}^2
  1. Volumen:
V=13×27,5×10=91,67 cm3V = \frac{1}{3} \times 27{,}5 \times 10 = 91{,}67 \, \text{cm}^3

Anmerkungen

  • Höhe vs. Seitenhöhe: Die Höhe ist senkrecht zur Basis, wohingegen die Seitenhöhe der diagonale Abstand über eine Seitenfläche ist.
  • Einheitenkonsistenz: Stellen Sie sicher, dass alle Maße (Seitenlänge, Höhe) in derselben Einheit angegeben sind.
  • Historische Einsicht: Die Formel V=13×Basisfla¨che×Ho¨heV = \frac{1}{3} \times \text{Basisfläche} \times \text{Höhe} wurde erstmals von Euklid in den Elementen (Buch XII) bewiesen.

Häufig gestellte Fragen

Wie berechnet man das Volumen, wenn nur die Seitenhöhe bekannt ist?

Problem: Eine quadratische Pyramide hat eine Basislänge von 10 cm und eine Seitenhöhe von 13 cm.
Lösung:

  1. Finden Sie die vertikale Höhe mit dem Satz des Pythagoras:
h=Seitenho¨he2−(Basiskante2)2=132−52=12 cmh = \sqrt{\text{Seitenhöhe}^2 - \left(\frac{\text{Basiskante}}{2}\right)^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12 \, \text{cm}
  1. Volumen:
V=13×102×12=400 cm3V = \frac{1}{3} \times 10^2 \times 12 = 400 \, \text{cm}^3

Warum gibt es in der Volumenformel einen Faktor 13\frac{1}{3}?

Der Faktor 13\frac{1}{3} ergibt sich, da das Volumen einer Pyramide genau ein Drittel des Volumens eines Prismas mit derselben Basis und Höhe beträgt. Dies kann gezeigt werden, indem ein Würfel in drei kongruente Pyramiden unterteilt wird.

Wie hoch ist das Volumen einer sechseckigen Pyramide mit einer Seitenlänge von 5 cm und einer Höhe von 9 cm?

  1. Basisfläche:
332×52=64,95 cm2\frac{3\sqrt{3}}{2} \times 5^2 = 64{,}95 \, \text{cm}^2
  1. Volumen:
V=13×64,95×9=194,86 cm3V = \frac{1}{3} \times 64{,}95 \times 9 = 194{,}86 \, \text{cm}^3

Wie beeinflusst die Änderung der Anzahl der Basis-Seiten das Volumen?

Die Erhöhung der Anzahl der Seiten (z. B. von Quadrat zu Sechseck) vergrößert die Basisfläche bei gleicher Seitenlänge, was das Volumen erhöht. Zum Beispiel hat ein Quadrat (Seite 4 cm) eine Basisfläche von 16 cm², während ein Sechseck (Seite 4 cm) eine Basisfläche von 41,57 cm241{,}57 \, \text{cm}^2 hat.

Finden Sie das Volumen einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide, wenn die Basisseite 3 cm und die Höhe 4 cm beträgt.

Um das Volumen einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide mit einer Basisseite von 3 cm und einer Höhe von 4 cm zu berechnen, verwenden Sie die Pyramidenvolumenformel und setzen die bekannten Werte ein.

Finden Sie die Basisfläche. Die Basis ist ein regelmäßiges Dreieck mit einer Seitenlänge von 3 cm. Der Bereich eines regelmäßigen Dreiecks wird berechnet durch:

Areabasis=a234Area_{\text{basis}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}

Ersetzen Sie den Wert von a=3a = 3 und berechnen Sie die Fläche:

Areabasis=3234=934 cm2Area_{\text{basis}} = \frac{3^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{9 \sqrt{3}}{4} \, \text{cm}^2

Nun die Basisfläche und die Höhe in die Volumenformel einsetzen:

V=13×934×4=33 cm3V = \frac{1}{3} \times \frac{9 \sqrt{3}}{4} \times 4 = 3 \sqrt{3} \, \text{cm}^3

Das Volumen einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide beträgt 33 cm3{3 \sqrt{3}} \, \text{cm}^3.

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