Trigonometrie-Rechner

Was ist ein Trigonometrie-Rechner?

Die Trigonometrie ist der Zweig der Mathematik, der die Winkel eines Dreiecks mit den Längen seiner Seiten verbindet. Der Trigonometrie-Rechner nimmt einen einzelnen Winkel und gibt die sechs für ihn definierten trigonometrischen Funktionen zurück: Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens, Sekans und Kosekans. Du kannst den Winkel in Grad oder Radiant eingeben, und der Rechner übernimmt die Umrechnung für dich.

Diese sechs Funktionen beschreiben Verhältnisse, die für einen gegebenen Winkel konstant bleiben, egal wie groß oder klein das Dreieck ist. Das macht sie so leistungsfähig: Sobald der Winkel bekannt ist, sind die Verhältnisse festgelegt, und sie tauchen überall auf, von der Vermessung und Navigation bis hin zu Physik, Signalverarbeitung und Computergrafik.

Kernbegriffe

• Winkel (θ) — der Eingabewinkel, gemessen in Grad (eine volle Drehung sind 360°) oder Radiant (eine volle Drehung sind $2\pi$).
• Sinus und Kosinus — die beiden grundlegenden Funktionen; auf dem Einheitskreis ist $\cos\theta$ die x-Koordinate und $\sin\theta$ die y-Koordinate des Punkts beim Winkel θ.
• Tangens — das Verhältnis $\sin\theta / \cos\theta$, gleich der Steigung der Radiuslinie beim Winkel θ.
• Kehrwertfunktionen — Kotangens, Sekans und Kosekans sind die Kehrwerte von Tangens, Kosinus bzw. Sinus.

Wie funktioniert der Rechner?

Stell dir einen Kreis mit Radius 1 vor, dessen Mittelpunkt im Ursprung liegt — den Einheitskreis. Ein Punkt auf dem Kreis beim Winkel θ (gegen den Uhrzeigersinn von der positiven x-Achse gemessen) hat die Koordinaten $(\cos\theta, \sin\theta)$. Jede trigonometrische Funktion baut auf diesen beiden Koordinaten auf.

Formeln

Die beiden primären Funktionen sind die Koordinaten des Punkts auf dem Einheitskreis:

Die übrigen vier Funktionen sind Verhältnisse und Kehrwerte davon:

Da die Division durch null nicht definiert ist, haben einige Funktionen bei bestimmten Winkeln keinen Wert. Tangens und Sekans sind überall dort undefiniert, wo $\cos\theta = 0$ ist (zum Beispiel 90° und 270°), während Kotangens und Kosekans überall dort undefiniert sind, wo $\sin\theta = 0$ ist (zum Beispiel 0° und 180°). Der Rechner lässt diese Ausgaben leer.

Gelöste Beispiele

Beispiel 1: Winkel von 30°

Bei 30° sind die Werte exakt und gut bekannt:

Beispiel 2: Winkel von 45°

Bei 45° sind Sinus und Kosinus gleich, sodass Tangens und Kotangens beide 1 sind:

Beispiel 3: Winkel von 90°

Bei 90° liegt der Punkt am oberen Rand des Einheitskreises, also ist $\cos 90° = 0$:

Hier sind $\tan 90°$ und $\sec 90°$ undefiniert, weil sie durch $\cos 90° = 0$ teilen.

Beispiel 4: Winkel von 1 Radiant

Wechselt man die Eingabeeinheit auf Radiant und gibt 1 ein:

Praktische Anwendungen

• Vermessung und Navigation — einen gemessenen Höhenwinkel in eine Höhe oder eine horizontale Entfernung umwandeln.
• Physik und Technik — Kräfte, Geschwindigkeiten oder Wechselstromsignale in senkrechte Komponenten zerlegen.
• Computergrafik und Spiele — das Drehen von Punkten, das Zielen von Geschossen und das Animieren von Kreisbewegungen beruhen alle auf Sinus und Kosinus.
• Astronomie — den scheinbaren Winkel eines Sterns mithilfe derselben Verhältnisse mit Entfernungen in Beziehung setzen.
• Dreiecke lösen — sobald du einen Funktionswert hast, hilft der Rechner für Winkel im rechtwinkligen Dreieck, die Winkel eines echten Dreiecks wiederzugewinnen.

Hinweise

• Achte darauf, dass die Eingabeeinheit zu deinem Winkel passt: 90 im Radiant-Modus einzugeben ist ein völlig anderer Winkel als 90 Grad.
• Um einen Winkel allein zwischen Grad, Radiant und Gon umzurechnen, verwende den Winkeleinheiten-Umrechner.
• Leere Ausgaben bedeuten, dass die Funktion bei diesem Winkel undefiniert ist (eine Division durch null), nicht dass der Rechner versagt hat.
• Die sechs Funktionen wiederholen sich periodisch, sodass ein Winkel und derselbe Winkel plus eine volle Drehung identische Ergebnisse liefern.
• Sobald du einen Winkel kennst, kannst du ihn in den Kreissektor-Flächenrechner eingeben, um einen Kreisausschnitt zu dimensionieren.