Rechner für Münzwurf-Wahrscheinlichkeit

Was ist ein Rechner für Münzwurf-Wahrscheinlichkeit?

Ein Rechner für Münzwurf-Wahrscheinlichkeit ermittelt, wie wahrscheinlich eine bestimmte Anzahl von Kopf-Ergebnissen ist, wenn Sie eine Münze mehrmals werfen. Jeder Wurf ist ein unabhängiger Versuch mit zwei möglichen Ausgängen — Kopf oder Zahl —, sodass eine Folge von Würfen der Binomialverteilung folgt. Der Rechner beantwortet Fragen wie „Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, bei 10 Würfen genau 5 mal Kopf zu erhalten?” oder „Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 2 mal Kopf bei 3 Würfen?”.

Er funktioniert für faire und gezinkte Münzen. Sie setzen die Wahrscheinlichkeit für Kopf $p$ auf einen beliebigen Wert zwischen 0 und 1, sodass dasselbe Werkzeug auch beschwerte Münzen und jedes andere Ja/Nein-Experiment abdeckt, das eine feste Anzahl von Malen wiederholt wird.

Wie funktioniert der Rechner?

Sie geben drei Werte an und wählen, was berechnet werden soll:

• Anzahl der Würfe ($n$) — wie oft die Münze geworfen wird (eine ganze Zahl $\ge 1$).
• Anzahl Kopf ($k$) — die Anzahl der Kopf-Ergebnisse, die Sie interessiert (eine ganze Zahl mit $0 \le k \le n$).
• Wahrscheinlichkeit für Kopf ($p$) — die Chance für Kopf bei einem einzelnen Wurf, zwischen 0 und 1 (0,5 für eine faire Münze).

Die Option Berechnen wählt eine von drei Fragen:

• Genau k mal Kopf — die Wahrscheinlichkeit, genau $k$ mal Kopf zu erhalten.
• Höchstens k mal Kopf — die kumulierte Wahrscheinlichkeit für $k$ oder weniger mal Kopf.
• Mindestens k mal Kopf — die kumulierte Wahrscheinlichkeit für $k$ oder mehr mal Kopf.

Das Ergebnis wird als Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 (auf sechs Dezimalstellen gerundet) sowie als Prozentsatz angezeigt.

Formeln

Die Wahrscheinlichkeit für genau $k$ mal Kopf bei $n$ Würfen ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung:

wobei der Binomialkoeffizient

beträgt. Die kumulierten Fälle summieren die einzelnen Terme:

Gelöste Beispiele

1. Genau 5 mal Kopf bei 10 fairen Würfen. Mit $n = 10$, $k = 5$, $p = 0,5$: $\binom{10}{5} = 252$, also $P = 252 \times 0{,}5^{5} \times 0{,}5^{5} = 252 / 1024 \approx 0{,}246094$ (etwa 24,61 %).

2. Genau 1 mal Kopf bei 2 fairen Würfen. Mit $n = 2$, $k = 1$, $p = 0,5$: $\binom{2}{1} = 2$, also $P = 2 \times 0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}5$ (50 %).

3. Mindestens 2 mal Kopf bei 3 fairen Würfen. Mit $n = 3$, $k = 2$, $p = 0,5$: $P(X \ge 2) = P(2) + P(3) = 0{,}375 + 0{,}125 = 0{,}5$ (50 %).

Praktische Hinweise

• Mit $k = 0$ und der Option „mindestens” ergibt sich immer 1, und mit $k = n$ und der Option „höchstens” ergibt sich immer 1, weil jedes Ergebnis die Bedingung erfüllt.
• Für eine gezinkte Münze ändern Sie $p$. Zum Beispiel ergibt $n = 5$, $k = 2$, $p = 0,3$ den Wert $\binom{5}{2} \times 0{,}3^{2} \times 0{,}7^{3} = 0{,}3087$.
• Das Binomialmodell setzt voraus, dass die Würfe unabhängig sind und $p$ bei jedem Wurf gleich bleibt.

Um verwandte Themen zu erkunden, sehen Sie sich den Bayes-Theorem-Rechner zum Aktualisieren von Wahrscheinlichkeiten mit Evidenz oder den Durchschnittsrechner zum Zusammenfassen von Daten an.