Konfidenzintervall-Rechner
Was ist ein Konfidenzintervall?
Ein Konfidenzintervall ist ein Bereich plausibler Werte für einen unbekannten Populationsparameter – hier den Mittelwert der Grundgesamtheit. Anstatt einen einzelnen Punktschätzer anzugeben, drückt es die Unsicherheit dieser Schätzung durch eine untere und eine obere Grenze aus.
Ein 95%-Konfidenzintervall bedeutet beispielsweise, dass etwa 95% der Intervalle den wahren Mittelwert enthalten würden, wenn Sie dasselbe Stichprobenverfahren viele Male wiederholten. Die Breite des Intervalls hängt davon ab, wie stark Ihre Daten streuen, wie viele Beobachtungen Sie haben und wie sicher Sie sein möchten.
Dieser Rechner verwendet die z-Näherung (Normalverteilung), die geeignet ist, wenn die Standardabweichung der Grundgesamtheit bekannt ist oder die Stichprobe groß genug ist, damit der zentrale Grenzwertsatz gilt.
Wie funktioniert der Rechner?
Sie geben vier Angaben ein:
- Stichprobenmittelwert (x̄) – der Durchschnitt Ihrer Beobachtungen.
- Standardabweichung (σ) – die Streuung der Daten; muss positiv sein.
- Stichprobengröße (n) – die Anzahl der Beobachtungen; eine ganze Zahl von mindestens 1.
- Konfidenzniveau – wie sicher Sie sein möchten: 90%, 95% oder 99%.
Jedes Konfidenzniveau entspricht einem kritischen z-Wert:
| Konfidenzniveau | z-Wert |
|---|---|
| 90% | 1,645 |
| 95% | 1,960 |
| 99% | 2,576 |
Der Rechner liefert die Fehlermarge, die untere Grenze und die obere Grenze.
Formeln
Der Standardfehler des Mittelwerts ist:
Die Fehlermarge skaliert den Standardfehler mit dem kritischen z-Wert:
Das Konfidenzintervall für den Mittelwert ist dann:
Gelöste Beispiele
Beispiel 1: x̄ = 100, σ = 15, n = 36, 95%
Der Standardfehler ist:
Mit z = 1,96 beträgt die Fehlermarge:
Das 95%-Konfidenzintervall ist also [95,1, 104,9].
Beispiel 2: x̄ = 50, σ = 10, n = 25, 99%
Der Standardfehler ist:
Mit z = 2,576 beträgt die Fehlermarge:
Das 99%-Konfidenzintervall ist also [44,848, 55,152].
Praktische Hinweise
- Ein höheres Konfidenzniveau verbreitert das Intervall: Mehr Sicherheit, den wahren Mittelwert erfasst zu haben, erfordert einen größeren Bereich.
- Eine größere Stichprobengröße verengt das Intervall, da der Standardfehler mit √n abnimmt.
- Die z-Näherung setzt voraus, dass die Stichprobenverteilung des Mittelwerts näherungsweise normal ist. Bei kleinen Stichproben mit unbekannter Standardabweichung ist ein t-Intervall meist genauer.
- Die Fehlermarge ist symmetrisch, daher liegt das Intervall stets zentriert um den Stichprobenmittelwert.