Z-Wert-Rechner

Was ist ein Z-Wert?

Ein Z-Wert (auch Standardwert genannt) sagt Ihnen, wie weit ein einzelner Wert vom Durchschnitt seiner Gruppe entfernt liegt, gemessen in Standardabweichungen. Ein Z-Wert von 0 bedeutet, dass der Wert genau durchschnittlich ist. Ein positiver Z-Wert bedeutet, dass der Wert überdurchschnittlich ist; ein negativer bedeutet, dass er unterdurchschnittlich ist. Da die Einheit “Standardabweichungen” statt Euro, Zentimeter oder Testpunkte ist, lassen Z-Werte Sie Zahlen vergleichen, die aus völlig unterschiedlichen Skalen stammen.

Dieser Rechner arbeitet in vier Richtungen. Wählen Sie, was Sie finden möchten, füllen Sie die anderen drei Felder aus, und er löst nach dem fehlenden auf: dem Z-Wert selbst, dem Rohwert x, dem Mittelwert μ oder der Standardabweichung σ.

Wie funktioniert der Rechner?

Der Z-Wert ist der Abstand zwischen einem Wert und dem Mittelwert, geteilt durch die Standardabweichung:

Wobei:

• x der Rohwert ist, den Sie bewerten.
• μ (mu) der Mittelwert der Grundgesamtheit oder Stichprobe ist.
• σ (sigma) die Standardabweichung ist, die größer als null sein muss.

Dieselbe Gleichung kann umgestellt werden, um jede der anderen Größen zu isolieren:

Der Rechner wendet einfach die Umstellung an, die zu dem von Ihnen gewählten Wert passt, sodass Sie die Algebra nie von Hand machen müssen.

Beispiele

1. Den Z-Wert finden. Ein Schüler erzielt x = 85 in einem Test, bei dem der Klassenmittelwert μ = 70 und die Standardabweichung σ = 10 beträgt. $z = \frac{85 - 70}{10} = 1.5$ Das Ergebnis liegt 1,5 Standardabweichungen über dem Durchschnitt.

2. Ein Wert gleich dem Mittelwert. Mit x = 70, μ = 70 und σ = 10: $z = \frac{70 - 70}{10} = 0$ Der Wert landet genau auf dem Mittelwert, sodass sein Z-Wert 0 ist.

3. Nach dem Rohwert auflösen. Sie wissen, dass der Z-Wert z = 2, der Mittelwert μ = 100 und die Standardabweichung σ = 15 ist. Schalten Sie den Rechner um, um den Rohwert zu finden: $x = 100 + 2 \times 15 = 130$ Ein Wert von 130 liegt zwei Standardabweichungen über dem Mittelwert.

Praktische Hinweise

• Die Standardabweichung muss positiv sein. Eine Standardabweichung von null würde bedeuten, dass jeder Wert identisch ist, wodurch der Z-Wert undefiniert bleibt.
• Negative Z-Werte sind normal und zu erwarten — sie beschreiben einfach Werte unterhalb des Mittelwerts.
• Verwenden Sie den Mittelwert und die Standardabweichung der Grundgesamtheit, wenn Sie Daten für die gesamte Gruppe haben, und die Stichprobenversionen, wenn Sie von einer Teilmenge ausgehen.
• Sobald Sie einen Z-Wert haben, können Sie ihn in einer Standardnormalverteilungstabelle nachschlagen, um Perzentile und Wahrscheinlichkeiten zu schätzen.

Häufig gestellte Fragen

Kann ein Z-Wert negativ sein?

Ja. Jeder Wert unterhalb des Mittelwerts erzeugt einen negativen Z-Wert. Zum Beispiel hat ein Wert, der 1,5 Standardabweichungen unter dem Mittelwert liegt, einen Z-Wert von -1.5.

Was bedeutet ein Z-Wert von 0?

Es bedeutet, dass der Wert genau gleich dem Mittelwert ist. Es gibt keine Abweichung vom Durchschnitt.

Warum muss die Standardabweichung größer als null sein?

Die Formel teilt durch σ. Wäre die Standardabweichung null, wäre die Division undefiniert, und in der Praxis würde es bedeuten, dass die Daten überhaupt keine Streuung haben.

Ist ein Z-Wert dasselbe wie ein Perzentil?

Nicht direkt. Ein Z-Wert misst den Abstand vom Mittelwert in Standardabweichungen, während ein Perzentil den Anteil der Werte angibt, die unter einen Punkt fallen. Sie können einen Z-Wert mithilfe einer Standardnormalverteilungstabelle in ein Perzentil umwandeln.