Calculadora de la ecuación de la recta a partir de dos puntos

¿Qué es la ecuación de la recta a partir de dos puntos?

Dos puntos distintos cualesquiera que no estén alineados verticalmente determinan exactamente una recta. Esta calculadora toma las coordenadas de esos dos puntos, $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$, y devuelve la ecuación de la recta en forma pendiente-intersección:

$$y = mx + b$$

donde $m$ es la pendiente (cuán inclinada está la recta) y $b$ es la ordenada al origen (donde la recta cruza el eje vertical). La calculadora indica la pendiente, la ordenada al origen y la ecuación completa.

¿Cómo funciona?

El cálculo ocurre en dos pasos.

Paso 1 — la pendiente. La pendiente es la razón entre el cambio vertical y el cambio horizontal entre los dos puntos:

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

Paso 2 — la ordenada al origen. Una vez conocida la pendiente, sustituye cualquiera de los dos puntos en $y = mx + b$ y despeja $b$:

$$b = y_1 - m \, x_1$$

Con $m$ y $b$ en mano, la ecuación es simplemente $y = mx + b$.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: una recta que pasa por el origen

Para los puntos $(0, 0)$ y $(2, 4)$:

$$m = \frac{4 - 0}{2 - 0} = 2, \qquad b = 0 - 2 \times 0 = 0$$

La ecuación es $y = 2x$. Como la ordenada al origen es cero, la recta pasa por el origen.

Ejemplo 2: una pendiente positiva con una ordenada negativa

Para los puntos $(1, 1)$ y $(3, 7)$:

$$m = \frac{7 - 1}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3, \qquad b = 1 - 3 \times 1 = -2$$

La ecuación es $y = 3x - 2$. La recta cruza el eje y dos unidades por debajo del origen.

Ejemplo 3: una recta horizontal

Para los puntos $(1, 2)$ y $(5, 2)$:

$$m = \frac{2 - 2}{5 - 1} = 0, \qquad b = 2 - 0 \times 1 = 2$$

La ecuación es $y = 0x + 2$, escrita más simplemente $y = 2$. Una pendiente cero significa que la recta es plana.

¿Y las rectas verticales?

Si los dos puntos comparten la misma coordenada x ($x_1 = x_2$), el desplazamiento $x_2 - x_1$ es cero y la pendiente es indefinida: no puedes dividir entre cero. Una recta así es vertical y su ecuación es $x = x_1$, que no puede escribirse en la forma $y = mx + b$. En este caso la calculadora deja vacías la pendiente, la ordenada al origen y la ecuación.

Notas

• La pendiente por sí sola te indica la dirección de la recta; combina esta herramienta con la calculadora de pendiente si eso es todo lo que necesitas.
• El orden de los dos puntos no importa. Intercambiarlos cambia el signo tanto del numerador como del denominador de la pendiente, dejando $m$ sin cambios, y la ordenada al origen sale igual.
• La calculadora de punto medio halla el punto a mitad de camino entre las dos coordenadas, que siempre está sobre esta misma recta.

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por (1,1) y (3,7)?

La pendiente es $3$ y la ordenada al origen es $-2$, así que la ecuación es $y = 3x - 2$.

¿Cómo hallo la ordenada al origen a partir de dos puntos?

Primero calcula la pendiente $m$, luego sustituye un punto en $b = y_1 - m x_1$. Para $(1,1)$ con $m = 3$, eso da $b = 1 - 3 = -2$.

¿Por qué no hay ecuación para dos puntos verticales?

Cuando ambos puntos tienen la misma coordenada x, la recta es vertical, su pendiente es indefinida y no puede expresarse como $y = mx + b$. Su ecuación es $x = x_1$ en su lugar.