Calculadora de fórmula cuadrática

¿Qué es una calculadora de fórmula cuadrática?

Una calculadora de fórmula cuadrática resuelve una ecuación cuadrática de la forma $a x^2 + b x + c = 0$ para hallar sus raíces reales. Introduces los tres coeficientes — el coeficiente principal $a$, el coeficiente lineal $b$ y el término constante $c$ — y la calculadora devuelve el discriminante junto con las dos soluciones reales $x_1$ y $x_2$, cada una redondeada a cuatro decimales.

Una ecuación cuadrática es una ecuación polinómica de segundo grado, lo que significa que la mayor potencia de la incógnita es dos. Siempre que $a \neq 0$, la ecuación describe una parábola, y sus raíces reales son exactamente los puntos donde esa parábola cruza el eje horizontal.

¿Cómo funciona?

Las raíces se hallan con la fórmula cuadrática:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

La expresión bajo la raíz cuadrada, $b^2 - 4ac$, se llama discriminante y suele escribirse $\Delta$:

$\Delta = b^2 - 4ac$

El discriminante te indica cuántas raíces reales tiene la ecuación antes incluso de calcularlas:

• Si $\Delta > 0$, hay dos raíces reales distintas.
• Si $\Delta = 0$, hay una raíz real repetida (las dos soluciones coinciden).
• Si $\Delta < 0$, no hay raíces reales — las soluciones forman un par complejo conjugado, por lo que la calculadora deja vacíos los campos de las raíces.

La calculadora también requiere que $a \neq 0$. Cuando $a = 0$, la ecuación ya no es cuadrática sino lineal, así que no se informan raíces cuadráticas.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 — dos raíces. Resuelve $x^2 - 3x + 2 = 0$, así que $a = 1$, $b = -3$, $c = 2$.

$\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$

Esto da $x_1 = 2$ y $x_2 = 1$.

Ejemplo 2 — una raíz repetida. Resuelve $x^2 + 2x + 1 = 0$, así que $a = 1$, $b = 2$, $c = 1$.

$\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4 - 4 = 0$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{0}}{2} = -1$

Ambas raíces son iguales a $-1$, el único punto donde la parábola toca el eje.

Ejemplo 3 — sin raíces reales. Resuelve $x^2 + 1 = 0$, así que $a = 1$, $b = 0$, $c = 1$.

$\Delta = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -4$

Como $\Delta < 0$, no hay soluciones reales, así que la calculadora devuelve solo el discriminante y deja los campos de las raíces en blanco.

Notas prácticas

El signo importa: introduce $b$ y $c$ exactamente como aparecen, incluido el signo menos, así que escribe -3 para $b$ en el primer ejemplo. Los resultados se redondean a cuatro decimales, lo que suele ser más que suficiente para graficar, física e ingeniería, pero significa que las raíces irracionales como $\sqrt{2}$ se muestran como su aproximación decimal.

La fórmula cuadrática está estrechamente relacionada con otras herramientas de álgebra. Una vez que tienes las raíces, puedes reconstruir la ecuación en forma factorizada $a(x - x_1)(x - x_2)$, lo que conecta de forma natural con una calculadora de factores. El paso de la raíz cuadrada en el corazón de la fórmula generaliza la idea detrás de una calculadora de raíz cúbica, y los términos al cuadrado se vinculan con elevar números a potencias mediante una calculadora de exponentes.