Calculatrice de longueur d'arc

Qu’est-ce qu’une calculatrice de longueur d’arc ?

Une calculatrice de longueur d’arc trouve la longueur d’un segment courbe le long du bord d’un cercle. L’arc est la portion de la circonférence comprise entre deux points du cercle, et sa longueur dépend de deux éléments : la distance de chaque point au centre (le rayon) et l’ampleur de l’angle au centre entre ces points (l’angle central).

Cette calculatrice fonctionne dans trois directions. Si vous connaissez le rayon et l’angle, elle renvoie la longueur de l’arc. Si vous connaissez la longueur de l’arc et l’une des deux autres valeurs, elle résout la valeur manquante. Vous pouvez saisir l’angle en degrés ou en radians, et le rayon ainsi que la longueur de l’arc dans n’importe quelle unité de longueur courante.

Concepts clés

• Rayon (r) — la distance depuis le centre du cercle jusqu’à un point sur sa bordure.
• Angle central (θ) — l’angle formé au centre du cercle par deux rayons tracés vers les extrémités de l’arc.
• Longueur de l’arc (L) — la distance parcourue le long de la courbe d’une extrémité de l’arc à l’autre.
• Radian — l’unité naturelle pour les angles dans cette formule. Un radian est l’angle qui sous-tend un arc dont la longueur est égale au rayon. Un cercle complet vaut $2\pi$ radians, soit 360 degrés.

Comment fonctionne la calculatrice ?

La relation entre la longueur de l’arc, le rayon et l’angle central est linéaire lorsque l’angle est exprimé en radians. La calculatrice convertit l’angle en radians en interne, puis applique la formule dans la direction dont l’utilisateur a besoin.

Formules

Si l’angle est en radians :

Si l’angle est en degrés :

Réarrangé pour résoudre le rayon :

Réarrangé pour résoudre l’angle :

Exemples résolus

Exemple 1 : longueur de l’arc à partir du rayon et de l’angle

Un cercle a un rayon de 10 cm et vous souhaitez connaître la longueur de l’arc sous-tendu par un angle central de 90°.

Exemple 2 : longueur de l’arc à partir du rayon et des radians

Pour un rayon de 5 m et un angle central de 2 radians :

Exemple 3 : rayon à partir de la longueur de l’arc et de l’angle

Un arc de 15,708 cm de long est délimité par un angle de 90°. Le rayon est :

Exemple 4 : angle à partir de la longueur de l’arc et du rayon

Un arc de 15,708 cm sur un cercle de rayon 10 cm correspond à :

Exemple 5 : tour complet

Pour un rayon de 1 et un angle de 360°, la longueur de l’arc est la circonférence complète du cercle : $L = 2\pi \cdot 1 \approx 6{,}2832$.

Utilisations pratiques

• Ingénierie et fabrication — tracé de pistes courbes, de tuyaux, de courroies ou de poulies où une longueur de matériau courbe doit correspondre à un angle connu.
• Construction et architecture — mesure des bords courbes d’arches, de dômes ou de sections de ronds-points.
• Topographie et cartographie — calcul des distances le long des latitudes ou des frontières courbes.
• Couture et patronage — calcul du tissu nécessaire pour des pièces circulaires ou évasées (c’est le même calcul que celui qui anime la calculatrice de l’aire d’un secteur circulaire).
• Sports — détermination de la distance qu’un athlète parcourt autour de la partie courbe d’un couloir de piste.

Remarques

• Le rayon et l’angle doivent tous deux être positifs pour que le résultat ait un sens.
• Un angle de 0° donne une longueur d’arc de 0 — les deux extrémités coïncident.
• Lors de la résolution du rayon à partir d’une longueur d’arc et d’un angle, l’angle ne peut pas être 0 ; lors de la résolution de l’angle, le rayon ne peut pas être 0.
• Les unités du rayon et de la longueur de l’arc correspondent : un rayon en mètres donne une longueur d’arc en mètres. Le changement du sélecteur d’unités reconvertit automatiquement le résultat.