Calculateur d'hexagone

Qu’est-ce qu’un calculateur d’hexagone ?

Le calculateur d’hexagone est un outil tout-en-un pour l’hexagone régulier, la figure à six côtés aux côtés égaux et aux angles égaux. Saisissez l’une de ses mesures et toutes les autres grandeurs apparaissent aussitôt : la longueur du côté, l’aire, le périmètre, les grande et petite diagonales, le rayon du cercle circonscrit et le rayon du cercle inscrit. Il est utile aux élèves qui résolvent des problèmes de géométrie, aux bricoleurs qui découpent des carreaux ou des boulons, et à quiconque trace un motif en nid d’abeille, où l’hexagone régulier revient sans cesse car il pave le plan sans laisser de vide.

Propriétés d’un hexagone régulier

Un hexagone régulier a six côtés égaux et six angles intérieurs de 120 degrés chacun. On peut le découper en six triangles équilatéraux identiques se rejoignant au centre, c’est pourquoi son rayon circonscrit — la distance du centre à un sommet — est exactement égal à la longueur du côté. L’hexagone possède deux sortes de diagonales : trois grandes diagonales qui passent par le centre et relient les sommets opposés, et six petites diagonales qui sautent un sommet. La grande diagonale vaut le double du côté, tandis que la petite diagonale vaut le côté multiplié par la racine carrée de trois.

Comment fonctionne le calculateur ?

Saisissez une valeur dans n’importe quel champ et le calculateur en déduit d’abord la longueur du côté, puis remplit toutes les autres propriétés. Vous pouvez ainsi partir du côté, de l’aire, du périmètre, de l’une des diagonales, du rayon circonscrit ou inscrit, et vous obtenez toujours une description complète de l’hexagone. Chaque champ de longueur accepte différentes unités, et les conversions entre elles se font automatiquement.

Formules

Avec la longueur du côté $a$, l’aire d’un hexagone régulier est :

Le périmètre vaut six fois le côté :

La grande diagonale (sommet au sommet opposé) et la petite diagonale (sommet en sautant un) sont :

Le rayon circonscrit $R$ (centre au sommet) est égal au côté, et le rayon inscrit $r$ (centre au milieu d’un côté, aussi appelé apothème) vaut :

où $A$ est l’aire, $P$ le périmètre, $D$ et $d$ les grande et petite diagonales, $R$ le rayon circonscrit, $r$ le rayon inscrit et $a$ la longueur du côté.

Exemples

1. Un hexagone régulier de côté 10 cm :

2. En remontant depuis un périmètre de 60 cm, le côté vaut $60 / 6 = 10$ cm, ce qui reproduit toutes les valeurs ci-dessus.

Notes pratiques

• Comme le rayon circonscrit est égal au côté, un hexagone régulier s’inscrit parfaitement dans un cercle dont le rayon est la longueur du côté — pratique pour le tracer au compas.
• Le rayon inscrit est aussi appelé apothème ; c’est le rayon du plus grand cercle tenant à l’intérieur de l’hexagone.
• Pour des figures comptant un autre nombre de côtés, le calculateur d’aire de polygone régulier et le calculateur de périmètre de polygone régulier généralisent ces formules.

FAQ

Comment trouver l’aire d’un hexagone régulier ?

Élevez la longueur du côté au carré et multipliez par $\frac{3\sqrt{3}}{2}$. Pour un côté de 10, l’aire vaut $\frac{3\sqrt{3}}{2}\times 100 \approx 259.81$.

Quelle est la différence entre les grande et petite diagonales ?

La grande diagonale relie deux sommets opposés et passe par le centre, elle vaut donc $2a$. La petite diagonale relie deux sommets séparés par un sommet et vaut $\sqrt{3}\,a$, ce qui est plus court.

Pourquoi le rayon circonscrit est-il égal au côté ?

Un hexagone régulier se découpe en six triangles équilatéraux se rejoignant au centre. Chaque triangle a la distance du centre au sommet et le côté comme deux de ses arêtes égales, donc le rayon circonscrit est exactement la longueur du côté.

Qu’est-ce que l’apothème d’un hexagone ?

L’apothème est le rayon inscrit — la distance du centre au milieu d’un côté. Pour un hexagone régulier, il vaut $\frac{\sqrt{3}}{2}\,a$, soit environ 0.866 fois le côté.