Calculatrice de formule quadratique

Qu’est-ce qu’une calculatrice de formule quadratique ?

Une calculatrice de formule quadratique résout une équation du second degré de la forme $a x^2 + b x + c = 0$ pour trouver ses racines réelles. Vous saisissez les trois coefficients — le coefficient dominant $a$, le coefficient linéaire $b$ et le terme constant $c$ — et la calculatrice renvoie le discriminant ainsi que les deux solutions réelles $x_1$ et $x_2$, chacune arrondie à quatre décimales.

Une équation du second degré est une équation polynomiale de degré deux, ce qui signifie que la plus haute puissance de l’inconnue est deux. Tant que $a \neq 0$, l’équation décrit une parabole, et ses racines réelles sont exactement les points où cette parabole croise l’axe horizontal.

Comment ça fonctionne ?

Les racines sont trouvées avec la formule quadratique :

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

L’expression sous la racine carrée, $b^2 - 4ac$, est appelée le discriminant et s’écrit habituellement $\Delta$ :

$\Delta = b^2 - 4ac$

Le discriminant vous indique combien de racines réelles l’équation possède avant même de les calculer :

• Si $\Delta > 0$, il y a deux racines réelles distinctes.
• Si $\Delta = 0$, il y a une racine réelle double (les deux solutions coïncident).
• Si $\Delta < 0$, il n’y a aucune racine réelle — les solutions forment une paire complexe conjuguée, de sorte que la calculatrice laisse les champs des racines vides.

La calculatrice exige également $a \neq 0$. Lorsque $a = 0$, l’équation n’est plus du second degré mais linéaire, donc aucune racine quadratique n’est rapportée.

Exemples résolus

Exemple 1 — deux racines. Résolvez $x^2 - 3x + 2 = 0$, donc $a = 1$, $b = -3$, $c = 2$.

$\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$

Cela donne $x_1 = 2$ et $x_2 = 1$.

Exemple 2 — une racine double. Résolvez $x^2 + 2x + 1 = 0$, donc $a = 1$, $b = 2$, $c = 1$.

$\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4 - 4 = 0$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{0}}{2} = -1$

Les deux racines valent $-1$, le point unique où la parabole touche l’axe.

Exemple 3 — aucune racine réelle. Résolvez $x^2 + 1 = 0$, donc $a = 1$, $b = 0$, $c = 1$.

$\Delta = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -4$

Comme $\Delta < 0$, il n’y a pas de solutions réelles, donc la calculatrice ne renvoie que le discriminant et laisse les champs des racines vides.

Remarques pratiques

Le signe compte : saisissez $b$ et $c$ exactement comme ils apparaissent, y compris le signe moins, donc tapez -3 pour $b$ dans le premier exemple. Les résultats sont arrondis à quatre décimales, ce qui suffit généralement amplement pour le tracé de graphiques, la physique et les travaux d’ingénierie, mais signifie que les racines irrationnelles telles que $\sqrt{2}$ sont affichées sous forme d’approximation décimale.

La formule quadratique est étroitement liée à d’autres outils d’algèbre. Une fois que vous avez les racines, vous pouvez reconstruire l’équation sous forme factorisée $a(x - x_1)(x - x_2)$, ce qui se rattache naturellement à une calculatrice de facteurs. L’étape de la racine carrée au cœur de la formule généralise l’idée derrière une calculatrice de racine cubique, et les termes au carré sont liés à l’élévation de nombres à des puissances via une calculatrice d’exposants.