Calculatrice d'aire d'un octogone régulier

Qu’est-ce qu’une calculatrice d’aire d’un octogone régulier ?

Une calculatrice d’aire d’un octogone régulier détermine l’aire délimitée par un polygone à huit côtés dont tous les côtés et angles intérieurs sont égaux. Comme chaque côté a la même longueur et chaque angle intérieur la même mesure, l’aire ne dépend que d’une seule donnée : la longueur du côté. La calculatrice applique une formule fermée, sans qu’il soit nécessaire de trianguler la figure ni de sommer des secteurs à la main.

Cette calculatrice accepte la longueur du côté dans n’importe quelle unité de longueur courante et renvoie l’aire dans l’unité carrée correspondante. Lorsque vous changez l’unité, le résultat est automatiquement reconverti sans avoir à ressaisir la donnée.

Notions clés

• Octogone régulier — polygone à huit côtés égaux et huit angles intérieurs égaux. Chaque angle intérieur mesure 135 degrés.
• Longueur du côté (s) — la longueur commune à chaque arête de l’octogone.
• Apothème — la distance perpendiculaire du centre de l’octogone au milieu d’un de ses côtés. Pour un octogone régulier, l’apothème vaut $\frac{s}{2}(1 + \sqrt{2})$.
• Aire (A) — la taille de la région bidimensionnelle délimitée par les huit côtés.

Comment fonctionne la calculatrice ?

Un octogone régulier peut être découpé en huit triangles isocèles congrus partageant le centre comme sommet commun. La somme des aires de ces triangles, ou de manière équivalente, le produit de l’apothème par la moitié du périmètre, donne une expression fermée simple.

Formule

La constante $2(1 + \sqrt{2})$ est la même pour tout octogone régulier ; l’aire varie donc avec le carré de la longueur du côté.

Exemples résolus

Exemple 1 : côté de longueur 1

Pour $s = 1$ :

Exemple 2 : côté de 5 cm

Pour $s = 5$ cm :

Exemple 3 : côté de 10 cm

Pour $s = 10$ cm :

Doubler la longueur du côté quadruple l’aire, comme l’indique le terme $s^2$.

Exemple 4 : côté de 1 m

Pour $s = 1$ m :

En passant l’unité d’entrée en mètres et l’unité de sortie en mètres carrés, on obtient la même constante mise à l’échelle de la nouvelle unité.

Applications pratiques

• Architecture et carrelage — calcul de la surface au sol des pièces, kiosques et pavillons octogonaux, et estimation du matériau pour des motifs de carrelage octogonal.
• Conception mécanique — dimensionnement de brides, faces d’écrous et sections d’arbres octogonaux, lorsqu’on privilégie une empreinte octogonale pour sa symétrie.
• Urbanisme — mesure de places et d’îlots de circulation octogonaux, dont la forme familière du panneau stop.
• Exercices de géométrie — vérifier les réponses en appliquant la formule de l’aire d’un polygone régulier avec n = 8.

Remarques

• La longueur du côté doit être positive ; un côté nul ou une valeur manquante ne renvoie aucune aire.
• La formule suppose un octogone parfaitement régulier. Pour un octogone irrégulier, divisez-le en triangles et additionnez leurs aires.
• Si seul l’apothème $a$ est connu, l’aire vaut $A = 8 \cdot \frac{s \cdot a}{2}$, avec $s = 2a(\sqrt{2} - 1)$.
• Pour d’autres polygones réguliers, voyez les calculatrices d’aire d’un hexagone régulier et d’aire d’un pentagone régulier.