Calculateur de probabilité de lancer de pièce

Qu’est-ce qu’un calculateur de probabilité de lancer de pièce ?

Un calculateur de probabilité de lancer de pièce détermine la probabilité d’obtenir un certain nombre de faces lorsque vous lancez une pièce plusieurs fois. Chaque lancer est une épreuve indépendante avec deux issues possibles — face ou pile — de sorte qu’une suite de lancers suit la loi binomiale. Le calculateur répond à des questions comme « Quelle est la probabilité d’obtenir exactement 5 faces en 10 lancers ? » ou « Quelle est la probabilité d’au moins 2 faces en 3 lancers ? ».

Il fonctionne pour les pièces équilibrées comme biaisées. Vous fixez la probabilité de face $p$ à n’importe quelle valeur entre 0 et 1, de sorte que le même outil couvre aussi les pièces truquées et toute autre expérience oui/non répétée un nombre fixe de fois.

Comment fonctionne le calculateur ?

Vous fournissez trois données et choisissez ce qu’il faut calculer :

• Nombre de lancers ($n$) — combien de fois la pièce est lancée (un entier $\ge 1$).
• Nombre de faces ($k$) — le nombre de faces qui vous intéresse (un entier avec $0 \le k \le n$).
• Probabilité de face ($p$) — la probabilité de face sur un seul lancer, entre 0 et 1 (0,5 pour une pièce équilibrée).

L’option Calculer sélectionne l’une des trois questions :

• Exactement k faces — la probabilité d’obtenir précisément $k$ faces.
• Au plus k faces — la probabilité cumulée d’obtenir $k$ faces ou moins.
• Au moins k faces — la probabilité cumulée d’obtenir $k$ faces ou plus.

Le résultat est affiché sous forme de probabilité entre 0 et 1 (arrondie à six décimales) ainsi qu’en pourcentage.

Formules

La probabilité d’exactement $k$ faces en $n$ lancers est la fonction de masse de probabilité binomiale :

où le coefficient binomial vaut

Les cas cumulés somment les termes individuels :

Exemples résolus

1. Exactement 5 faces en 10 lancers équilibrés. Avec $n = 10$, $k = 5$, $p = 0,5$ : $\binom{10}{5} = 252$, donc $P = 252 \times 0{,}5^{5} \times 0{,}5^{5} = 252 / 1024 \approx 0{,}246094$ (environ 24,61 %).

2. Exactement 1 face en 2 lancers équilibrés. Avec $n = 2$, $k = 1$, $p = 0,5$ : $\binom{2}{1} = 2$, donc $P = 2 \times 0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}5$ (50 %).

3. Au moins 2 faces en 3 lancers équilibrés. Avec $n = 3$, $k = 2$, $p = 0,5$ : $P(X \ge 2) = P(2) + P(3) = 0{,}375 + 0{,}125 = 0{,}5$ (50 %).

Notes pratiques

• Avec $k = 0$ et l’option « au moins », on obtient toujours 1, et avec $k = n$ et l’option « au plus », on obtient toujours 1, car toute issue satisfait la condition.
• Pour une pièce biaisée, modifiez $p$. Par exemple, $n = 5$, $k = 2$, $p = 0,3$ donne $\binom{5}{2} \times 0{,}3^{2} \times 0{,}7^{3} = 0{,}3087$.
• Le modèle binomial suppose que les lancers sont indépendants et que $p$ reste identique à chaque lancer.

Pour explorer des idées connexes, voir le calculateur du théorème de Bayes pour mettre à jour les probabilités avec des preuves, ou le calculateur de moyenne pour résumer des données.