Calcolatrice della lunghezza dell'arco

Cos’è una calcolatrice della lunghezza dell’arco?

Una calcolatrice della lunghezza dell’arco trova la lunghezza di un segmento curvo lungo il bordo di un cerchio. L’arco è la porzione della circonferenza compresa tra due punti del cerchio, e la sua lunghezza dipende da due elementi: la distanza di ciascun punto dal centro (il raggio) e l’ampiezza dell’angolo formato al centro tra di essi (l’angolo centrale).

Questa calcolatrice funziona in tre direzioni. Se conosci il raggio e l’angolo, restituisce la lunghezza dell’arco. Se conosci la lunghezza dell’arco e uno degli altri due valori, calcola il valore mancante. Puoi inserire l’angolo in gradi o radianti, e il raggio e la lunghezza dell’arco in qualsiasi unità di misura di lunghezza comune.

Concetti chiave

• Raggio (r) — la distanza dal centro del cerchio a un punto sul suo perimetro.
• Angolo centrale (θ) — l’angolo formato al centro del cerchio da due raggi tracciati verso gli estremi dell’arco.
• Lunghezza dell’arco (L) — la distanza percorsa lungo la curva da un estremo dell’arco all’altro.
• Radiante — l’unità naturale per gli angoli in questa formula. Un radiante è l’angolo che sottende un arco la cui lunghezza è uguale al raggio. Un cerchio completo è $2\pi$ radianti, ovvero 360 gradi.

Come funziona la calcolatrice?

La relazione tra lunghezza dell’arco, raggio e angolo centrale è lineare quando l’angolo è espresso in radianti. La calcolatrice converte internamente l’angolo in radianti e poi applica la formula nella direzione richiesta dall’utente.

Formule

Se l’angolo è in radianti:

Se l’angolo è in gradi:

Riarrangiata per risolvere il raggio:

Riarrangiata per risolvere l’angolo:

Esempi svolti

Esempio 1: lunghezza dell’arco dal raggio e dall’angolo

Un cerchio ha un raggio di 10 cm e vuoi conoscere la lunghezza dell’arco sotteso da un angolo centrale di 90°.

Esempio 2: lunghezza dell’arco dal raggio e dai radianti

Per un raggio di 5 m e un angolo centrale di 2 radianti:

Esempio 3: raggio dalla lunghezza dell’arco e dall’angolo

Un arco lungo 15,708 cm è tagliato da un angolo di 90°. Il raggio è:

Esempio 4: angolo dalla lunghezza dell’arco e dal raggio

Un arco di 15,708 cm su un cerchio di raggio 10 cm corrisponde a:

Esempio 5: giro completo

Per un raggio di 1 e un angolo di 360°, la lunghezza dell’arco è l’intera circonferenza del cerchio: $L = 2\pi \cdot 1 \approx 6{,}2832$.

Usi pratici

• Ingegneria e produzione — tracciare piste curve, tubi, cinghie o pulegge dove una lunghezza di materiale curvo deve corrispondere a un angolo noto.
• Costruzione e architettura — misurare i bordi curvi di archi, cupole o sezioni di rotatorie.
• Topografia e cartografia — calcolare distanze lungo le latitudini o confini curvi.
• Cucito e creazione di modelli — calcolare il tessuto necessario per pezzi circolari o svasati (è lo stesso calcolo che alimenta la calcolatrice dell’area del settore circolare).
• Sport — trovare la distanza percorsa da un atleta lungo la parte curva di una corsia di pista.

Note

• Il raggio e l’angolo devono essere entrambi positivi affinché il risultato sia significativo.
• Un angolo di 0° dà una lunghezza dell’arco pari a 0 — i due estremi coincidono.
• Quando si risolve per il raggio a partire da una lunghezza dell’arco e da un angolo, l’angolo non può essere 0; quando si risolve per l’angolo, il raggio non può essere 0.
• Le unità del raggio e della lunghezza dell’arco coincidono: un raggio in metri dà una lunghezza dell’arco in metri. Il cambio del selettore di unità riconverte automaticamente il risultato.