Calcolatrice del punto medio

Cos’è una calcolatrice del punto medio?

Una calcolatrice del punto medio trova il punto che si trova esattamente a metà strada tra due punti nel piano cartesiano. Date le coordinate di due punti, la calcolatrice restituisce le coordinate del punto che divide il segmento di retta che li collega in due metà uguali.

Questa è una delle costruzioni più fondamentali della geometria analitica. Il punto medio è il centro di un segmento di retta, la posizione media di due posizioni e un mattone fondamentale per bisecare le linee, trovare i centri di cerchi tracciati attraverso due punti e molte altre operazioni geometriche.

Concetti chiave

• Punto — una posizione nel piano descritta da una coppia ordinata di coordinate $(x, y)$.
• Segmento di retta — un pezzo dritto di una linea delimitato da due estremi.
• Punto medio — l’unico punto su un segmento che è equidistante da entrambi gli estremi.
• Media delle coordinate — le coordinate del punto medio sono semplicemente le medie aritmetiche delle coordinate dei due estremi.

Come funziona la calcolatrice?

La formula del punto medio tratta ciascuna coordinata in modo indipendente. La coordinata x del punto medio è la media delle due coordinate x degli estremi; la coordinata y del punto medio è la media delle due coordinate y. Poiché il calcolo della media è simmetrico, l’ordine in cui si inseriscono i punti non ha importanza.

Formula

Per due punti $P_1 = (x_1, y_1)$ e $P_2 = (x_2, y_2)$, il punto medio $M$ è:

La componente x da sola:

E la componente y:

Esempi svolti

Esempio 1: punto medio di (0, 0) e (10, 10)

Gli estremi sono l’origine e il punto $(10, 10)$:

Esempio 2: punto medio di (2, 3) e (8, 7)

Esempio 3: punto medio di (-4, -2) e (4, 6)

Le coordinate negative funzionano allo stesso modo — le medie rimangono invariate:

Esempio 4: punto medio di due punti identici

Se $P_1 = P_2$, il punto medio coincide con entrambi:

Usi pratici

• Geometria e costruzione — bisezione di un segmento di retta, individuazione del centro di una corda o costruzione di assi perpendicolari.
• Computer grafica — interpolazione tra due posizioni, animazione di un oggetto da una posizione all’altra o suddivisione di una polilinea.
• Cartografia e navigazione — stima del punto a metà strada di un viaggio tra due posizioni su una mappa piatta.
• Statistica e dati — calcolo della media di due osservazioni accoppiate o ricerca del centro di un riquadro di delimitazione dai suoi angoli opposti.
• Sviluppo di videogiochi — posizionamento di oggetti tra due personaggi, centratura delle posizioni della telecamera o ricerca di punti di rotazione.

Note

• La formula del punto medio funziona per qualsiasi coppia di punti, incluse le coordinate negative.
• Il punto medio si trova sempre sul segmento tra i due estremi — non finisce mai all’esterno.
• Per i punti in tre dimensioni, la stessa idea si estende naturalmente: si calcola la media di ciascuna coordinata in modo indipendente.
• Per trovare la distanza tra due punti invece del punto medio, vedi il calcolatore di distanza.
• La linea che passa per il punto medio perpendicolare al segmento è l’asse del segmento — è l’insieme di tutti i punti equidistanti dai due estremi.

Domande frequenti

L’ordine dei due punti è importante?

No. Poiché l’addizione è commutativa, scambiando $P_1$ e $P_2$ si ottiene lo stesso punto medio.

Posso usare la formula del punto medio per punti 3D?

Sì. Per i punti $(x_1, y_1, z_1)$ e $(x_2, y_2, z_2)$, il punto medio è $\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2} \right)$.

Qual è il collegamento tra la formula del punto medio e il teorema di Pitagora?

La formula del punto medio dà il centro di un segmento; il teorema di Pitagora ne dà la lunghezza. Insieme descrivono la posizione e la dimensione di qualsiasi segmento nel piano.

Come è correlato il punto medio alla pendenza di una retta?

Il punto medio si trova sulla stessa retta passante per $P_1$ e $P_2$, quindi condivide la pendenza di quella retta. L’asse perpendicolare passante per il punto medio ha la pendenza reciproca negativa.