Calcolatore della formula quadratica

Che cos’è un calcolatore della formula quadratica?

Un calcolatore della formula quadratica risolve un’equazione di secondo grado della forma $a x^2 + b x + c = 0$ per trovarne le radici reali. Inserisci i tre coefficienti — il coefficiente direttore $a$, il coefficiente lineare $b$ e il termine costante $c$ — e il calcolatore restituisce il discriminante insieme alle due soluzioni reali $x_1$ e $x_2$, ciascuna arrotondata a quattro cifre decimali.

Un’equazione di secondo grado è un’equazione polinomiale di grado due, il che significa che la potenza più alta dell’incognita è due. Finché $a \neq 0$, l’equazione descrive una parabola, e le sue radici reali sono esattamente i punti in cui quella parabola attraversa l’asse orizzontale.

Come funziona?

Le radici si trovano con la formula quadratica:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

L’espressione sotto la radice quadrata, $b^2 - 4ac$, è chiamata discriminante e di solito si scrive $\Delta$:

$\Delta = b^2 - 4ac$

Il discriminante ti dice quante radici reali ha l’equazione ancor prima di calcolarle:

• Se $\Delta > 0$, ci sono due radici reali distinte.
• Se $\Delta = 0$, c’è una radice reale doppia (le due soluzioni coincidono).
• Se $\Delta < 0$, non ci sono radici reali — le soluzioni formano una coppia complessa coniugata, quindi il calcolatore lascia vuoti i campi delle radici.

Il calcolatore richiede inoltre $a \neq 0$. Quando $a = 0$ l’equazione non è più di secondo grado ma lineare, quindi non viene riportata alcuna radice quadratica.

Esempi svolti

Esempio 1 — due radici. Risolvi $x^2 - 3x + 2 = 0$, quindi $a = 1$, $b = -3$, $c = 2$.

$\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$

Questo dà $x_1 = 2$ e $x_2 = 1$.

Esempio 2 — una radice doppia. Risolvi $x^2 + 2x + 1 = 0$, quindi $a = 1$, $b = 2$, $c = 1$.

$\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4 - 4 = 0$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{0}}{2} = -1$

Entrambe le radici sono uguali a $-1$, l’unico punto in cui la parabola tocca l’asse.

Esempio 3 — nessuna radice reale. Risolvi $x^2 + 1 = 0$, quindi $a = 1$, $b = 0$, $c = 1$.

$\Delta = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -4$

Poiché $\Delta < 0$, non ci sono soluzioni reali, quindi il calcolatore restituisce solo il discriminante e lascia vuoti i campi delle radici.

Note pratiche

Il segno conta: inserisci $b$ e $c$ esattamente come appaiono, compreso il segno meno, quindi digita -3 per $b$ nel primo esempio. I risultati sono arrotondati a quattro cifre decimali, il che di solito è più che sufficiente per la realizzazione di grafici, la fisica e il lavoro di ingegneria, ma significa che radici irrazionali come $\sqrt{2}$ vengono mostrate come la loro approssimazione decimale.

La formula quadratica è strettamente legata ad altri strumenti di algebra. Una volta ottenute le radici puoi ricostruire l’equazione in forma fattorizzata $a(x - x_1)(x - x_2)$, il che si collega naturalmente a un calcolatore di fattori. Il passaggio della radice quadrata al cuore della formula generalizza l’idea alla base di un calcolatore di radice cubica, e i termini al quadrato si ricollegano all’elevamento a potenza dei numeri tramite un calcolatore di esponenti.