Calcolatrice dell'area di un pentagono regolare

Cos’è una calcolatrice dell’area di un pentagono regolare?

Una calcolatrice dell’area di un pentagono regolare determina l’area racchiusa da un poligono a cinque lati i cui lati hanno tutti la stessa lunghezza e i cui angoli interni sono tutti uguali a 108°. L’unica misura necessaria è la lunghezza del lato: ogni altra dimensione (l’apotema, la diagonale, il raggio del cerchio circoscritto) è fissata dalla geometria una volta noto il lato.

Questo strumento accetta una singola lunghezza del lato in qualsiasi unità comune e restituisce l’area nell’unità quadrata corrispondente. Cambiando l’unità del lato o dell’area il risultato viene riconvertito automaticamente.

Concetti chiave

• Lunghezza del lato (s) — la lunghezza di uno dei cinque lati uguali del pentagono.
• Apotema (a) — la distanza perpendicolare dal centro del pentagono al punto medio di uno qualsiasi dei lati. Per un pentagono regolare, $a = \frac{s}{2 \tan(36°)}$.
• Angolo interno — ciascuno dei cinque angoli interni di un pentagono regolare è uguale a 108°.
• Sezione aurea — il pentagono regolare è notoriamente legato a $\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$; il rapporto tra una qualsiasi diagonale e un lato è uguale a $\varphi$.

Come funziona la calcolatrice?

L’area di un pentagono regolare dipende dal quadrato della lunghezza del lato moltiplicato per una costante. Tale costante deriva dalla suddivisione del pentagono in cinque triangoli isosceli congruenti che si incontrano al centro, dal calcolo dell’area di ciascun triangolo e dalla loro somma.

Formula

Una forma equivalente basata sull’apotema, utile quando si conosce già l’apotema, è:

dove $P = 5s$ è il perimetro e $a$ è l’apotema.

Esempi risolti

Esempio 1: lato = 10 cm

Esempio 2: lato = 1

Questa è la costante adimensionale: l’area di un pentagono regolare di lato unitario.

Esempio 3: lato = 5

Esempio 4: verifica tramite l’apotema

Per $s = 10$ cm l’apotema è $a = \frac{10}{2 \tan(36°)} \approx 6{,}8819$ cm, quindi

che coincide con l’Esempio 1.

Usi pratici

• Architettura e design — disposizione di pavimenti, piastrelle, gazebo o finestre pentagonali.
• Ingegneria — dimensionamento di sezioni trasversali pentagonali di bulloni, dadi ed elementi strutturali.
• Cartografia e pianificazione — stima dell’ingombro di terreni o edifici pentagonali (il Pentagono ad Arlington è l’esempio più famoso).
• Matematica e didattica — illustrazione della sezione aurea, dimostrazione che i poligoni regolari hanno aree in forma chiusa e confronto con la calcolatrice dell’area di un poligono regolare per un $n$ generale.

Note

• La lunghezza del lato deve essere positiva affinché il risultato sia significativo; un lato nullo dà un’area nulla.
• Le unità del lato e dell’area corrispondono: un lato in metri dà un’area in metri quadrati. Cambiando i selettori delle unità il risultato viene riconvertito automaticamente.
• Per altri poligoni regolari, consultare la calcolatrice dell’area di un esagono regolare e la calcolatrice dell’area di un ottagono regolare.