Calcolatrici salvate
Calcolatrici salvate
Matematica

Calcolatore di volume del toro

Segnala un errore

Condividi calcolatrice

Aggiungi la nostra calcolatrice gratuita al tuo sito web

Per favore, inserisci un URL valido. Sono supportati solo gli URL HTTPS.
Usa come valori di default per la calcolatrice integrata ciò che è attualmente nei campi di input della calcolatrice sulla pagina.
Colore dell'input a fuoco, colore della casella di switch selezionata, colore al passaggio del mouse sugli elementi selezionati, ecc.
Per favore, accetta i Termini di Utilizzo.
Anteprima

Salva calcolatrice

Cos’è un toro?

Un toro è una forma geometrica tridimensionale che assomiglia a una ciambella o una camera d’aria. Si forma ruotando un cerchio nello spazio tridimensionale attorno a un asse che è complanare con il cerchio ma non lo interseca. Questa rotazione crea una superficie di rivoluzione con un foro al centro. I termini chiave associati a un toro includono:

  • Raggio Maggiore (R): La distanza dal centro del tubo al centro del toro.
  • Raggio Minore (r): Il raggio della sezione trasversale circolare del tubo.

I toroi sono studiati in geometria, topologia e fisica, e appaiono in natura e in ingegneria, come nei reattori a fusione magnetica (tokamak) e nei pneumatici delle biciclette.

Formula per calcolare il volume

Il volume VV di un toro è calcolato utilizzando la formula derivata dall’integrazione nel calcolo:

V=2π2Rr2V = 2\pi^2 R r^2

Dove:

  • RR: Raggio maggiore (distanza dal centro del tubo al centro del toro).
  • rr: Raggio minore (raggio del tubo stesso).

Questa formula presuppone una sezione trasversale perfettamente circolare e una rotazione uniforme attorno all’asse.

Esempi

Esempio 1: Ciambella classica

Supponiamo che una ciambella abbia un raggio maggiore R=4 cmR = 4 \, \text{cm} e un raggio minore r=2 cmr = 2 \, \text{cm}. Il suo volume è calcolato come:

V=2π2×4×22=32π2 cm3≈315,91 cm3V = 2\pi^2 \times 4 \times 2^2 = 32\pi^2 \, \text{cm}^3 \approx 315,91 \, \text{cm}^3

Esempio 2: Guarnizione in gomma industriale

Un O-ring con R=10 mmR = 10 \, \text{mm} e r=1,5 mmr = 1,5 \, \text{mm}:

V=2π2×10×(1,5)2=45π2 mm3≈444,13 mm3V = 2\pi^2 \times 10 \times (1,5)^2 = 45\pi^2 \, \text{mm}^3 \approx 444,13 \, \text{mm}^3

Esempio 3: Struttura ad anello astronomica

Un toro cosmico ipotetico con R=1 000 kmR = 1\,000 \, \text{km} e r=20 kmr = 20 \, \text{km}:

V=2π2×1 000×202=800 000π2 km3≈7 895 568 km3V = 2\pi^2 \times 1\,000 \times 20^2 = 800\,000\pi^2 \, \text{km}^3 \approx 7\,895\,568 \, \text{km}^3

Contesto storico

Lo studio dei toroi risale alla geometria greca antica, ma il termine “toro” è stato reso popolare nel XIX secolo. Carl Friedrich Gauss ha esplorato le sue proprietà nella geometria differenziale, collegandolo alla curvatura e alla topologia. Il toro gioca anche un ruolo nella geometria algebrica, dove è usato per modellare forme complesse.

Applicazioni dei volumi del toro

  1. Ingegneria: Progettazione di O-ring, pneumatici e magneti superconduttori nelle macchine MRI.
  2. Architettura: Creazione di strutture toroidali come arene circolari.
  3. Fisica: Modellazione del confinamento magnetico nei reattori a fusione (ad esempio, tokamak).
  4. Biologia: Studio delle membrane cellulari e dei capside virali.

Note

  1. Accuratezza: La formula presuppone una sezione trasversale perfettamente circolare. I toroi nel mondo reale possono presentare deformazioni.
  2. Unità: Assicurati che RR e rr siano nelle stesse unità prima di calcolare.
  3. Errore Comune: Confondere RR (raggio maggiore) con rr (raggio minore).

Domande Frequenti

Come calcolare il volume di un toro con R=5 mR = 5 \, \text{m} e r=1 mr = 1 \, \text{m}?

V=2π2×5×12=10π2 m3≈98,7 m3V = 2\pi^2 \times 5 \times 1^2 = 10\pi^2 \, \text{m}^3 \approx 98,7 \, \text{m}^3

È possibile modellare un pneumatico come un toro?

Sì. Ad esempio, un pneumatico per bicicletta con R=30 cmR = 30 \, \text{cm} e r=2 cmr = 2 \, \text{cm}:

V=2π2×30×22=240π2 cm3≈2 368,7 cm3V = 2\pi^2 \times 30 \times 2^2 = 240\pi^2 \, \text{cm}^3 \approx 2\,368,7 \, \text{cm}^3

Cosa succede al volume se il raggio maggiore raddoppia?

Il volume quadruplica, poiché V∝RV \propto R. Raddoppiando RR si aumenta VV di un fattore di 2, ma raddoppiando rr si aumenta VV di un fattore di 4 (poiché rr è al quadrato).

Perché sono importanti le unità coerenti?

Mescolare unità (ad esempio, RR in metri e rr in centimetri) porta a risultati errati. Converti tutte le misure nella stessa unità prima.

Gli antichi matematici hanno studiato i toroi?

Sì! Archimede ha esplorato i volumi di rivoluzione, e il toro appare nei primi lavori sulla geometria, anche se la sua analisi formale è emersa più tardi.

Calcolatrici simili

Politica di privacy Condizioni d'uso