Calcolatrice di trigonometria

Che cos’è una calcolatrice di trigonometria?

La trigonometria è il ramo della matematica che collega gli angoli di un triangolo alle lunghezze dei suoi lati. La calcolatrice di trigonometria prende un singolo angolo e restituisce le sei funzioni trigonometriche definite per esso: seno, coseno, tangente, cotangente, secante e cosecante. Puoi inserire l’angolo in gradi o radianti e la calcolatrice si occupa della conversione per te.

Queste sei funzioni descrivono rapporti che restano costanti per un dato angolo, indipendentemente da quanto sia grande o piccolo il triangolo. È questo che le rende così potenti: una volta noto l’angolo, i rapporti sono fissati e ricompaiono ovunque, dalla topografia e la navigazione fino alla fisica, all’elaborazione dei segnali e alla grafica computerizzata.

Concetti chiave

• Angolo (θ) — l’angolo di ingresso, misurato in gradi (un giro completo è 360°) o radianti (un giro completo è $2\pi$).
• Seno e coseno — le due funzioni fondamentali; sulla circonferenza unitaria, $\cos\theta$ è la coordinata x e $\sin\theta$ è la coordinata y del punto all’angolo θ.
• Tangente — il rapporto $\sin\theta / \cos\theta$, uguale alla pendenza della retta del raggio all’angolo θ.
• Funzioni reciproche — cotangente, secante e cosecante sono le reciproche rispettivamente di tangente, coseno e seno.

Come funziona la calcolatrice?

Immagina una circonferenza di raggio 1 centrata nell’origine: la circonferenza unitaria. Un punto sulla circonferenza all’angolo θ (misurato in senso antiorario dall’asse x positivo) ha coordinate $(\cos\theta, \sin\theta)$. Ogni funzione trigonometrica si costruisce a partire da queste due coordinate.

Formule

Le due funzioni primarie sono le coordinate del punto sulla circonferenza unitaria:

Le quattro funzioni rimanenti sono rapporti e reciproche di queste:

Poiché la divisione per zero non è definita, alcune funzioni non hanno valore in certi angoli. Tangente e secante sono indefinite ovunque $\cos\theta = 0$ (per esempio 90° e 270°), mentre cotangente e cosecante sono indefinite ovunque $\sin\theta = 0$ (per esempio 0° e 180°). La calcolatrice lascia vuote queste uscite.

Esempi svolti

Esempio 1: angolo di 30°

A 30° i valori sono esatti e ben noti:

Esempio 2: angolo di 45°

A 45° seno e coseno sono uguali, quindi tangente e cotangente sono entrambe 1:

Esempio 3: angolo di 90°

A 90° il punto si trova nella parte superiore della circonferenza unitaria, quindi $\cos 90° = 0$:

Qui $\tan 90°$ e $\sec 90°$ sono indefinite perché dividono per $\cos 90° = 0$.

Esempio 4: angolo di 1 radiante

Cambiando l’unità di ingresso in radianti e inserendo 1:

Usi pratici

• Topografia e navigazione — trasformare un angolo di elevazione misurato in un’altezza o una distanza orizzontale.
• Fisica e ingegneria — scomporre forze, velocità o segnali in corrente alternata in componenti perpendicolari.
• Grafica computerizzata e videogiochi — la rotazione dei punti, la mira dei proiettili e l’animazione del moto circolare si basano tutte su seno e coseno.
• Astronomia — mettere in relazione l’angolo apparente di una stella con le distanze usando gli stessi rapporti.
• Risoluzione dei triangoli — una volta che hai un valore di funzione, la calcolatrice dell’angolo di un triangolo rettangolo aiuta a recuperare gli angoli di un triangolo reale.

Note

• Assicurati che l’unità di ingresso corrisponda al tuo angolo: inserire 90 in modalità radianti è un angolo completamente diverso da 90 gradi.
• Per convertire un angolo da solo tra gradi, radianti e gradi centesimali, usa il convertitore di unità di angolo.
• Le uscite vuote significano che la funzione è indefinita a quell’angolo (una divisione per zero), non che la calcolatrice abbia fallito.
• Le sei funzioni si ripetono periodicamente, quindi un angolo e quello stesso angolo più un giro completo danno risultati identici.
• Una volta noto un angolo, puoi inserirlo nella calcolatrice dell’area di un settore circolare per dimensionare uno spicchio circolare.