Calcolatore di probabilità del lancio di una moneta

Che cos’è un calcolatore di probabilità del lancio di una moneta?

Un calcolatore di probabilità del lancio di una moneta determina quanto è probabile un determinato numero di teste quando si lancia una moneta più volte. Ogni lancio è una prova indipendente con due esiti possibili — testa o croce — quindi una sequenza di lanci segue la distribuzione binomiale. Il calcolatore risponde a domande come «Qual è la probabilità di ottenere esattamente 5 teste in 10 lanci?» o «Qual è la probabilità di almeno 2 teste in 3 lanci?».

Funziona sia con monete eque sia con monete truccate. Imposti la probabilità di testa $p$ su qualsiasi valore tra 0 e 1, quindi lo stesso strumento copre anche monete caricate e qualsiasi altro esperimento sì/no ripetuto un numero fisso di volte.

Come funziona il calcolatore?

Fornisci tre dati e scegli cosa calcolare:

• Numero di lanci ($n$) — quante volte viene lanciata la moneta (un intero $\ge 1$).
• Numero di teste ($k$) — il conteggio di teste che ti interessa (un intero con $0 \le k \le n$).
• Probabilità di testa ($p$) — la probabilità di testa in un singolo lancio, tra 0 e 1 (0,5 per una moneta equa).

L’opzione Calcola seleziona una delle tre domande:

• Esattamente k teste — la probabilità di ottenere precisamente $k$ teste.
• Al massimo k teste — la probabilità cumulativa di ottenere $k$ teste o meno.
• Almeno k teste — la probabilità cumulativa di ottenere $k$ teste o più.

Il risultato è mostrato come probabilità tra 0 e 1 (arrotondata a sei cifre decimali) e anche come percentuale.

Formule

La probabilità di esattamente $k$ teste in $n$ lanci è la funzione di massa di probabilità binomiale:

dove il coefficiente binomiale è

I casi cumulativi sommano i singoli termini:

Esempi svolti

1. Esattamente 5 teste in 10 lanci equi. Con $n = 10$, $k = 5$, $p = 0,5$: $\binom{10}{5} = 252$, quindi $P = 252 \times 0{,}5^{5} \times 0{,}5^{5} = 252 / 1024 \approx 0{,}246094$ (circa il 24,61%).

2. Esattamente 1 testa in 2 lanci equi. Con $n = 2$, $k = 1$, $p = 0,5$: $\binom{2}{1} = 2$, quindi $P = 2 \times 0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}5$ (50%).

3. Almeno 2 teste in 3 lanci equi. Con $n = 3$, $k = 2$, $p = 0,5$: $P(X \ge 2) = P(2) + P(3) = 0{,}375 + 0{,}125 = 0{,}5$ (50%).

Note pratiche

• Con $k = 0$ e l’opzione «almeno» si ottiene sempre 1, e con $k = n$ e l’opzione «al massimo» si ottiene sempre 1, perché qualsiasi esito soddisfa la condizione.
• Per una moneta truccata, cambia $p$. Ad esempio, $n = 5$, $k = 2$, $p = 0,3$ dà $\binom{5}{2} \times 0{,}3^{2} \times 0{,}7^{3} = 0{,}3087$.
• Il modello binomiale presuppone che i lanci siano indipendenti e che $p$ rimanga uguale a ogni lancio.

Per esplorare idee correlate, vedi il calcolatore del teorema di Bayes per aggiornare le probabilità con le prove, o il calcolatore della media per riassumere i dati.