弦の長さ計算機

弦の長さ計算機とは？

弦とは、両端が円上にある直線分のことです。円の最長の弦はその直径であり、それ以外のすべての弦はより短く、ある中心角によって「対される」ものとなります。中心角とは、弦の両端に引かれた2本の半径によって中心に形成される角度のことです。

この計算機は、他の2つの値がわかっているときに、3つの値 — 弦の長さ、半径、中心角 — のうちのいずれか1つを求めます。角度は度またはラジアンで入力でき、半径と弦は一般的な長さの単位で入力できます。

主要な概念

• 半径（r） — 円の中心からその境界上の点までの距離。
• 中心角（θ） — 弦の両端に引かれた2本の半径によって円の中心に形成される角度。
• 弦（c） — 弧の両端の間の直線距離で、円の曲線をたどるのではなく円を横切るもの。
• 直径 — 中心を通る弦の特殊な場合。その長さは $2r$ で、中心角180°に対応します。

弦と弧の長さは、同じ2つの端点を異なる2つの視点から表しています。弦は真っ直ぐに横切る近道であり、弧は円に沿った経路です。

計算機の仕組み

弦、その両端への2本の半径、および中心から下ろした垂線は、2つの合同な直角三角形を形成します。弦の半分、半径、中心角の半分は次を満たします

$$\sin\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right) = \frac{c/2}{r}$$

これは計算機が使用する公式に変形されます。

公式

半径と中心角から弦：

$$c = 2 r \sin\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right)$$

弦と中心角から半径：

$$r = \frac{c}{2 \sin\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right)}$$

弦と半径から中心角：

$$\theta = 2 \arcsin\!\left(\frac{c}{2r}\right)$$

度数法の場合、$\theta$ を $\theta_{\text{deg}} \cdot \frac{\pi}{180}$ に置き換えるか、単位セレクターを切り替えた後に計算機から直接角度を読み取ります。

計算例

例1：半径と角度から弦を求める

円の半径が10 cm、中心角が60°です。その角度によって切り取られる弦は

$$c = 2 \cdot 10 \cdot \sin(30°) = 2 \cdot 10 \cdot 0.5 = 10 \text{ cm}$$

これは、60°の角度の弦が半径に等しいというよく知られた恒等式です — 形成される三角形は正三角形です。

例2：180°で弦が直径に等しい

半径5 m、中心角180°（または $\pi$ ラジアン）の場合、弦は円を完全に横切ります：

$$c = 2 \cdot 5 \cdot \sin(90°) = 10 \text{ m}$$

これが円の直径です。

例3：弦と角度から半径を求める

長さ10 cmの弦が60°の中心角によって切り取られています。円の半径は

$$r = \frac{10}{2 \sin(30°)} = \frac{10}{1} = 10 \text{ cm}$$

例4：弦と半径から角度を求める

半径10 cmの円に長さ10 cmの弦が引かれています。中心角は

$$\theta = 2 \arcsin\!\left(\frac{10}{20}\right) = 2 \cdot 30° = 60°$$

例5：四分円の弦

半径1の円上の90°の角度の場合、弦は $c = 2 \sin(45°) = \sqrt{2} \approx 1.4142$ であり、同じ角度の弧の長さは $\pi/2 \approx 1.5708$ です。弧は常に弦よりわずかに長くなります。

実用例

• 工学 — ベルトとプーリーの配置で、2つの車輪上の接触点間の直線距離は各車輪の弦になります。
• 建築および大工仕事 — アーチや曲線の窓の幅の測定で、弦が径間を示し、弧の長さが曲線に沿って必要な材料を示します。
• 測量 — 円形の基準点から地上の位置を確定すること。弦の測定は弧よりもマークしやすいです。
• 天文学 — 遠方の天体の見かけの直径の計算で、円形の断面を横切る弦が観測される広がりに対応します。
• 幾何学および三角法 — 弦と角度の関係は、正弦関数の最初の定義の1つであり、円のセクターやセグメントの計算に今でも現れます。

注釈

• 弦は直径より長くなることはできません（$c \le 2r$）。それより長い弦を入力すると、角度は定義されず、計算機は結果を返しません。
• 0°の角度では弦は0になります — 2つの端点は一致します。
• 180°の角度では直径になります。180°より大きい角度はぐるりと回り、その補角と同じ弦を与えます（例：200°と160°は同一の弦になります）。
• 弦と角度から半径を求めるとき、角度は0であってはなりません。角度を求めるときは、半径は0であってはなりません。
• 半径と弦は単位を共有します：単位セレクターを切り替えると、結果は自動的に再変換されます。