六角形計算機

六角形計算機とは？

六角形計算機は、辺がすべて等しく角がすべて等しい六辺形である正六角形のためのオールインワンツールです。いずれかの寸法を入力すると、ほかのすべての量がすぐに表示されます。辺の長さ、面積、周長、長い対角線と短い対角線、外接円の半径、内接円の半径です。幾何の問題に取り組む生徒、タイルやボルトを切る職人、ハニカム模様を配置する人など、平面を隙間なく敷き詰められるため何度も現れる正六角形を扱う誰にとっても便利です。

正六角形の性質

正六角形は等しい六辺と、それぞれ120度の六つの内角を持ちます。中心で出会う六つの合同な正三角形に分割でき、そのため外接円の半径——中心から頂点までの距離——はちょうど辺の長さに等しくなります。六角形には二種類の対角線があります。中心を通って向かい合う頂点を結ぶ三本の長い対角線と、一つの頂点を飛ばす六本の短い対角線です。長い対角線は辺の二倍で、短い対角線は辺に3の平方根を掛けた値に等しくなります。

計算機の仕組み

いずれかの欄に値を入力すると、計算機はまずそこから辺の長さを求め、次に残りのすべての性質を埋めます。したがって辺、面積、周長、いずれかの対角線、外接円または内接円の半径から始めても、常に六角形の完全な記述が得られます。各長さの欄は異なる単位を受け付け、それらの間の変換は自動的に行われます。

公式

辺の長さを $a$ とすると、正六角形の面積は次の通りです。

$$A = \frac{3\sqrt{3}}{2}\,a^2$$

周長は辺の六倍です。

$$P = 6a$$

長い対角線（頂点から向かい合う頂点まで）と短い対角線（一つの頂点を飛ばす）は次の通りです。

$$D = 2a \qquad d = \sqrt{3}\,a$$

外接円の半径 $R$（中心から頂点まで）は辺に等しく、内接円の半径 $r$（中心から辺の中点まで、アポテムとも呼ばれる）は次の通りです。

$$R = a \qquad r = \frac{\sqrt{3}}{2}\,a$$

ここで $A$ は面積、$P$ は周長、$D$ と $d$ は長い対角線と短い対角線、$R$ は外接円の半径、$r$ は内接円の半径、$a$ は辺の長さです。

例

1. 辺が10 cmの正六角形：

$$A = \frac{3\sqrt{3}}{2}\times 10^2 \approx 259.81 \text{ square centimeters}$$ $$P = 6 \times 10 = 60 \text{ centimeters}$$ $$D = 2 \times 10 = 20 \text{ centimeters} \qquad d = \sqrt{3}\times 10 \approx 17.32 \text{ centimeters}$$ $$R = 10 \text{ centimeters} \qquad r = \frac{\sqrt{3}}{2}\times 10 \approx 8.66 \text{ centimeters}$$

2. 周長60 cmから逆算すると辺は $60 / 6 = 10$ cmとなり、上記のすべての値を再現します。

実用上の注意

• 外接円の半径が辺に等しいため、正六角形は半径が辺の長さに等しい円にぴったり収まります。コンパスで描くときに便利です。
• 内接円の半径はアポテムとも呼ばれ、六角形の内部に収まる最大の円の半径です。
• 辺の数が異なる図形については、正多角形面積計算機と正多角形周長計算機がこれらの公式を一般化します。

よくある質問

正六角形の面積はどう求めますか？

辺の長さを二乗し、$\frac{3\sqrt{3}}{2}$ を掛けます。辺が10の場合、面積は $\frac{3\sqrt{3}}{2}\times 100 \approx 259.81$ です。

長い対角線と短い対角線の違いは何ですか？

長い対角線は向かい合う二つの頂点を結び、中心を通るため $2a$ に等しくなります。短い対角線は一つの頂点で隔てられた二つの頂点を結び、$\sqrt{3}\,a$ に等しく、より短くなります。

なぜ外接円の半径は辺に等しいのですか？

正六角形は中心で出会う六つの正三角形に分割されます。各三角形は中心から頂点までの距離と辺を等しい二辺として持つため、外接円の半径はちょうど辺の長さになります。

六角形のアポテムとは何ですか？

アポテムは内接円の半径で、中心から辺の中点までの距離です。正六角形ではこれは $\frac{\sqrt{3}}{2}\,a$ に等しく、辺の約0.866倍です。