三角関数計算機

三角関数計算機とは？

三角法は、三角形の角度とその辺の長さを結びつける数学の分野です。三角関数計算機は1つの角度を受け取り、その角度に対して定義される6つの三角関数、すなわちサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント、セカント、コセカントを返します。角度は度またはラジアンで入力でき、計算機が変換を行います。

これら6つの関数は、三角形の大小にかかわらず、与えられた角度に対して一定に保たれる比を表します。これこそがそれらを強力にしている点です。角度が分かれば比は固定され、測量や航海から物理学、信号処理、コンピューターグラフィックスに至るまで、あらゆる場所に現れます。

主要な概念

• 角度 (θ) — 入力角度。度（1回転は360°）またはラジアン（1回転は$2\pi$）で測定します。
• サインとコサイン — 2つの基本関数。単位円上では、$\cos\theta$は角度θの点のx座標、$\sin\theta$はy座標です。
• タンジェント — 比$\sin\theta / \cos\theta$。角度θにおける半径の直線の傾きに等しいです。
• 逆数関数 — コタンジェント、セカント、コセカントは、それぞれタンジェント、コサイン、サインの逆数です。

計算機の仕組みは？

原点を中心とする半径1の円、すなわち単位円を思い浮かべてください。角度θ（正のx軸から反時計回りに測定）における円上の点は、座標$(\cos\theta, \sin\theta)$を持ちます。すべての三角関数はこの2つの座標から構成されます。

公式

2つの主要な関数は、単位円上の点の座標です。

$$\sin\theta = y, \qquad \cos\theta = x$$

残りの4つの関数は、これらの比と逆数です。

$$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}, \qquad \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$$ $$\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}, \qquad \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}$$

ゼロによる除算は定義されないため、一部の関数は特定の角度で値を持ちません。タンジェントとセカントは$\cos\theta = 0$となるところ（例えば90°と270°）で定義されず、コタンジェントとコセカントは$\sin\theta = 0$となるところ（例えば0°と180°）で定義されません。計算機はそれらの出力を空白のままにします。

計算例

例1：30°の角度

30°では値は正確でよく知られています。

$$\sin 30° = 0.5, \quad \cos 30° \approx 0.866025, \quad \tan 30° \approx 0.577350$$ $$\cot 30° \approx 1.732051, \quad \sec 30° \approx 1.154701, \quad \csc 30° = 2$$

例2：45°の角度

45°ではサインとコサインが等しいため、タンジェントとコタンジェントはどちらも1です。

$$\sin 45° = \cos 45° \approx 0.707107, \quad \tan 45° = \cot 45° = 1, \quad \sec 45° = \csc 45° \approx 1.414214$$

例3：90°の角度

90°では点が単位円の頂点に位置するため、$\cos 90° = 0$です。

$$\sin 90° = 1, \quad \cos 90° = 0, \quad \cot 90° = 0, \quad \csc 90° = 1$$

ここで$\tan 90°$と$\sec 90°$は$\cos 90° = 0$で割るため定義されません。

例4：1ラジアンの角度

入力単位をラジアンに切り替えて1を入力すると、

$$\sin 1 \approx 0.841471, \quad \cos 1 \approx 0.540302, \quad \tan 1 \approx 1.557408$$

実用的な用途

• 測量と航海 — 測定した仰角を高さや水平距離に変換する。
• 物理学と工学 — 力、速度、交流信号を垂直な成分に分解する。
• コンピューターグラフィックスとゲーム — 点の回転、発射体の照準、円運動のアニメーションはすべてサインとコサインに依存します。
• 天文学 — 同じ比を用いて星の見かけの角度を距離と関連づける。
• 三角形を解く — 関数値が得られたら、直角三角形の角度計算機が実際の三角形の角度を求めるのに役立ちます。

注意

• 入力単位が角度と一致していることを確認してください。ラジアンモードで90を入力するのは、90度とはまったく異なる角度です。
• 角度そのものを度、ラジアン、グラードの間で変換するには、角度単位変換器を使用してください。
• 空白の出力は、その角度で関数が定義されない（ゼロによる除算）ことを意味し、計算機が失敗したことを意味するものではありません。
• 6つの関数は周期的に繰り返されるため、ある角度とその角度に1回転を加えたものは同じ結果になります。
• 角度が分かれば、扇形の面積計算機に入力して円の扇形の大きさを求めることができます。