加重平均計算機

加重平均計算機とは？

加重平均計算機は、いくつかの値が他の値より重要である場合に、値の集合の平均を求めるツールです。単純な平均ではどの数値も同じように扱われますが、現実の多くの場面ではその前提は誤りです。期末試験は短い小テストよりも重く扱うべきですし、多くの単位に適用される価格は、ごくわずかな単位にしか適用されない価格よりも全体の数値に強く影響すべきです。各値に重みを割り当てることで、この計算機はより重要な項目が結果を自分のほうへ引き寄せるようにし、単純な平均よりも忠実にデータを反映する数値を生み出します。

単純平均と加重平均

単純平均は、値を合計してその個数で割ります。これはすべての値が同じ重要性を持つ場合にのみ正しい選択です。

一方、加重平均は、各値にその重みを掛け、それらの積を合計し、重みの合計で割ります。項目が重要性、標本サイズ、頻度、または寄与の点で異なる場合は常に、加重平均が正しいツールです。すべての重みが等しい場合、加重平均は通常の平均に戻ります。

公式

重み $w_1, w_2, \dots, w_n$ を持つ $n$ 個の値 $x_1, x_2, \dots, x_n$ の加重平均は次のとおりです。

$$\bar{x} = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + \dots + w_n x_n}{w_1 + w_2 + \dots + w_n}$$

これは総和記号を用いて簡潔に次のように書けます。

$$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}$$

ここで、

• $x_i$ は各個別の値、
• $w_i$ はその値に割り当てられた重み、
• $n$ は値と重みの組の数です。

分母はすべての重みの合計です。この合計がゼロの場合、加重平均は定義されず、計算機は結果を返しません。

計算機の仕組みは？

加重平均計算機を使うには、次の手順に従ってください。

1. 各値をそれぞれの行に、与えたい重みとともに入力します。必要なだけ行を追加できます。

2. すべての値に重みがあることを確認してください。 値があっても重みがない行はスキップされます。重みがなければ平均に寄与できないためです。

3. 結果を読み取ります。 計算機は加重平均と使用した値と重みの組の数を返し、入力するたびに自動的に更新されます。

計算例

成績の加重

3つの課題が90点、80点、70点を取り、それぞれ重要度の単位として3、2、1を持つとします。各点数にその重みを掛け、積を合計し、合計の重みで割ります。

$$\frac{(90 \cdot 3) + (80 \cdot 2) + (70 \cdot 1)}{3 + 2 + 1} = \frac{270 + 160 + 70}{6} = \frac{500}{6} \approx 83.33$$

加重平均は約83.33で、最高点が最も大きな重みを持つため、単純平均の80より高くなります。

数量による価格の加重

同じ商品を3つの異なる価格で購入する場合を考えます。19.99ドルで5単位、13.99ドルで3単位、25.00ドルで2単位です。各価格を購入数量で加重します。

$$\frac{(19.99 \cdot 5) + (13.99 \cdot 3) + (25.00 \cdot 2)}{5 + 3 + 2} = \frac{99.95 + 41.97 + 50.00}{10} = \frac{191.92}{10} = 19.19$$

1単位あたりの平均支払価格は19.19ドルです。

等しい重みは単純平均に帰着する

10と20の2つの値にそれぞれ重み1を与えると、加重平均は通常の平均と等しくなります。

$$\frac{(10 \cdot 1) + (20 \cdot 1)}{1 + 1} = \frac{30}{2} = 15$$

結果は15で、ちょうど単純平均になります。

実用的な応用

1. 成績とGPA。 学校は、各要素が最終成績にどれだけ影響するかを反映した重みを用いて、試験、小テスト、宿題の点数を組み合わせます。

2. 財務と価格設定。 投資家や購入者は、各数値が表す金額や単位数で重み付けして、加重平均のコスト、収益、または価格を計算します。

3. 調査と統計。 分析者は、各測定値をその標本サイズで重み付けすることで、規模の異なるグループからの測定値を統合します。

よくある質問

重みの合計がゼロになるとどうなりますか？

加重平均は重みの合計で割るため、合計がゼロだと結果は定義されないままになります。その場合、計算機は結果を表示しません。これは、互いに打ち消し合う正の重みと負の重みを混在させると起こり得ます。

重みは1または100％に合計する必要がありますか？

いいえ。重みは任意のスケールの任意の数値でかまいません。公式がそれらの合計で割るからです。合計が1になる分数、合計が100になるパーセンテージ、または整数の個数を使っても、同じ比率に対しては同じ結果が得られます。

これと単純な平均計算機の違いは何ですか？

平均計算機はすべての数値を等しく重要なものとして扱いますが、このツールでは各値を異なる重みで扱えます。任意の標本サイズを伴うパーセンテージを平均するには、平均パーセンテージ計算機を使用してください。