コイン投げ確率計算機

コイン投げ確率計算機とは？

コイン投げ確率計算機は、コインを複数回投げたときに特定の回数だけ表が出る可能性を求めます。各投げは表か裏の 2 つの結果を持つ独立な試行なので、一連の投げは二項分布に従います。この計算機は「10 回の投げでちょうど 5 回表が出る確率は？」や「3 回の投げで少なくとも 2 回表が出る確率は？」といった質問に答えます。

公平なコインにも偏ったコインにも対応します。表の確率 $p$ を 0 から 1 の任意の値に設定できるため、同じツールで重み付きコインや、固定回数繰り返す任意のはい/いいえ実験もカバーできます。

計算機の仕組み

3 つの値を入力し、計算内容を選びます。

• 投げる回数 ($n$) — コインを投げる回数（整数 $\ge 1$）。
• 表の回数 ($k$) — 注目する表の回数（$0 \le k \le n$ を満たす整数）。
• 表の確率 ($p$) — 1 回の投げで表が出る確率、0 から 1 の間（公平なコインは 0.5）。

計算オプションで 3 つの質問のいずれかを選びます。

• ちょうど k 回表 — ちょうど $k$ 回表が出る確率。
• 最大 k 回表 — 表が $k$ 回以下出る累積確率。
• 最低 k 回表 — 表が $k$ 回以上出る累積確率。

結果は 0 から 1 の確率（小数第 6 位に丸め）とパーセントで表示されます。

公式

$n$ 回の投げでちょうど $k$ 回表が出る確率は、二項分布の確率質量関数です。

$$P(X = k) = \binom{n}{k}\, p^{k} (1-p)^{n-k}$$

ここで二項係数は

$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$$

累積の場合は各項を合計します。

$$P(X \le k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i}\, p^{i} (1-p)^{n-i}$$ $$P(X \ge k) = \sum_{i=k}^{n} \binom{n}{i}\, p^{i} (1-p)^{n-i}$$

計算例

1. 公平な 10 回の投げでちょうど 5 回表。 $n = 10$、$k = 5$、$p = 0.5$ のとき：$\binom{10}{5} = 252$ なので $P = 252 \times 0.5^{5} \times 0.5^{5} = 252 / 1024 \approx 0.246094$（約 24.61%）。

2. 公平な 2 回の投げでちょうど 1 回表。 $n = 2$、$k = 1$、$p = 0.5$ のとき：$\binom{2}{1} = 2$ なので $P = 2 \times 0.5 \times 0.5 = 0.5$（50%）。

3. 公平な 3 回の投げで少なくとも 2 回表。 $n = 3$、$k = 2$、$p = 0.5$ のとき：$P(X \ge 2) = P(2) + P(3) = 0.375 + 0.125 = 0.5$（50%）。

実用上の注意

• $k = 0$ で「最低」を選ぶと結果は常に 1 になり、$k = n$ で「最大」を選ぶと結果は常に 1 になります。すべての結果が条件を満たすためです。
• 偏ったコインの場合は $p$ を変更します。例えば $n = 5$、$k = 2$、$p = 0.3$ では $\binom{5}{2} \times 0.3^{2} \times 0.7^{3} = 0.3087$ となります。
• 二項モデルは、各投げが独立であり、$p$ が毎回同じであることを前提とします。

関連する考え方を学ぶには、証拠に基づいて確率を更新するベイズの定理計算機や、データを要約する平均計算機をご覧ください。