信頼区間計算機

信頼区間とは？

信頼区間とは、未知の母数（ここでは母平均）に対するもっともらしい値の範囲です。単一の点推定値を報告する代わりに、その推定の不確かさを下限と上限で表します。

たとえば 95% 信頼区間は、同じ標本抽出の手順を何度も繰り返した場合、作成した区間の約 95% が真の平均を含むことを意味します。区間の幅は、データのばらつき、観測数、そしてどの程度の確信を望むかによって決まります。

この計算機は z（正規）近似を用います。これは母標準偏差が既知である場合、または標本が十分大きく中心極限定理が適用できる場合に適しています。

計算機の仕組み

4 つの情報を入力します。

• 標本平均 (x̄)：観測値の平均。
• 標準偏差 (σ)：データのばらつき。正である必要があります。
• 標本サイズ (n)：観測の数。1 以上の整数。
• 信頼水準：どの程度の確信を望むか：90%、95%、99%。

各信頼水準は臨界 z 値に対応します。

計算機は誤差の範囲、下限、上限を返します。

公式

平均の標準誤差は次のとおりです。

$$SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

誤差の範囲は、標準誤差を臨界 z 値で拡大します。

$$E = z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

したがって平均の信頼区間は次のとおりです。

$$\bar{x} \pm z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

計算例

例 1：x̄ = 100、σ = 15、n = 36、95%

標準誤差は次のとおりです。

$$SE = \frac{15}{\sqrt{36}} = \frac{15}{6} = 2.5$$

z = 1.96 のとき、誤差の範囲は次のとおりです。

$$E = 1.96 \times 2.5 = 4.9$$

よって 95% 信頼区間は [95.1, 104.9] です。

例 2：x̄ = 50、σ = 10、n = 25、99%

標準誤差は次のとおりです。

$$SE = \frac{10}{\sqrt{25}} = \frac{10}{5} = 2$$

z = 2.576 のとき、誤差の範囲は次のとおりです。

$$E = 2.576 \times 2 = 5.152$$

よって 99% 信頼区間は [44.848, 55.152] です。

実用上の注意

• 信頼水準が高いほど区間は広がります。真の平均を捉えているという確信を高めるには、より大きな範囲が必要です。
• 標本サイズが大きいほど区間は狭まります。標準誤差が √n に従って小さくなるためです。
• z 近似は、平均の標本分布がほぼ正規であることを前提とします。標準偏差が未知の小標本では、通常 t 区間のほうが正確です。
• 誤差の範囲は対称なので、区間は常に標本平均を中心とします。