幾何平均計算機

幾何平均計算機とは何ですか？

幾何平均計算機は、正の数のリストの中心傾向を、それらをすべて掛け合わせ、入力した値の個数に対応する根を取ることによって見つけます。値を足して個数で割る通常の（算術）平均とは異なり、幾何平均は掛け算に基づいており、これによりデータが時間とともに複利的に増加する割合、比率、または量を表す場合に適切な選択肢となります。

数値を入力すると、計算機は使用した値の個数とともに幾何平均を即座に報告します。幾何平均はすべての値の積を伴うため、正の数に対してのみ定義されます — ゼロが1つあるだけで積はゼロに崩れ、負の値は実データに対して根を未定義にするため、計算機はそのような場合に結果を空白のままにします。

どのように機能しますか？

$n$ 個の正の値の幾何平均は、それらの積の $n$ 乗根です：

$$GM = \left(\prod_{i=1}^{n} x_i\right)^{1/n} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n}$$

長いリストでも数値的に安定した計算を保つために、計算機は対数を用いて同じ値を計算します — 入力の自然対数を平均し、その結果を指数化します：

$$GM = \exp\!\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \ln x_i\right)$$

どちらの形式も同一の答えを与えます。対数版は、多くの値を掛け合わせる際のオーバーフローを単に回避するだけです。

例の計算

2つの数。 リスト $2$ と $8$ について、積は $16$ であり、値は $n = 2$ 個あるので、幾何平均は $16$ の平方根です：

$$GM = \sqrt{2 \cdot 8} = \sqrt{16} = 4$$

3つの数。 $2$、$4$、$8$ について、積は $64$ で $n = 3$ なので、幾何平均は $64$ の立方根です：

$$GM = \sqrt[3]{2 \cdot 4 \cdot 8} = \sqrt[3]{64} = 4$$

同一の値。 すべての値が同じ場合、幾何平均はその値に等しくなります。$3$、$3$、$3$ について：

$$GM = \sqrt[3]{3 \cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{27} = 3$$

幾何平均を使うべきとき

幾何平均は、値が足し算ではなく掛け算で結びつくときに真価を発揮します。一般的な用途には次のものがあります：

• 平均成長率と収益率。 投資収益、人口成長、または年ごとに測定されるインフレについて、成長係数の幾何平均は真の複利平均を与えます — 算術平均はそれを過大評価します。
• 比率と指数。 物価指数、アスペクト比、その他比率として表される量は、幾何平均で正しく平均化されます。
• 数桁にわたるデータ。 値が10の累乗を超えて分布する場合、幾何平均は算術平均よりも極端な項目によって歪められることがはるかに少なくなります。

単一の値については幾何平均はその値そのものであり、どのようなリストについても、それは常に同じ数値の算術平均以下になり、すべての値が同一であるときにのみ等しくなります。

よくある質問

なぜ数値は正でなければならないのですか？ 幾何平均はすべての値の積に依存します。ゼロは積をゼロにし、負の値は実数に対して偶数乗根を未定義にするため、意味のある幾何平均は、すべての入力がゼロより大きい場合にのみ存在します。幾何平均が日常的な平均とどのように関係するかを学ぶには、平均計算機 をご覧ください。また、データがどれだけ分散しているかを測定するには、標準偏差計算機 をお試しください。

中央値や最頻値とどう違うのですか？ 中央値と最頻値は、積に基づく中心ではなく位置と頻度を表します。平均、中央値、最頻値の計算機 がそれらの尺度を扱います。幾何平均は真の平均ですが、乗法的なデータに合わせて調整されたものです。