平均絶対偏差計算機

平均絶対偏差計算機とは？

平均絶対偏差計算機は、各値が平均からどれだけ離れているかを平均することで、数値の集合がどれだけ散らばっているかを測定します。データ点を入力すると、計算機は平均絶対偏差（MAD）を平均および値の個数とともに瞬時に報告します。MAD が小さいほど数値が平均の周りに密集していることを意味し、大きいほど広く散らばっていることを意味します。

各偏差を二乗する標準偏差とは異なり、平均絶対偏差は単純な絶対距離を用います。これにより結果が元のデータと同じ単位に保たれ、直感的になります。すなわち MAD は、データ点と平均との間の典型的な距離そのものです。

どのように計算しますか？

平均絶対偏差は、各値と平均との絶対差の平均です。

$$MAD = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}|$$

ここで $\bar{x}$ はデータの平均、$n$ は値の個数です。計算は次の 3 つの手順に従います。

1. すべての値を足し、その個数で割って平均を求めます。
2. すべての値から平均を引き、絶対値で符号を落として各絶対偏差を求めます。
3. それらの絶対偏差を足し合わせ、$n$ で割って平均をとります。

手順 2 で絶対値をとることが、MAD を素朴な平均偏差と区別する点です。これがなければ、正の偏差と負の偏差が常に打ち消し合ってゼロになってしまいます。

計算例

データ集合 $1, 2, 3, 4, 5$ を考えます。これは $n = 5$ 個の値を持ちます。

まず、平均は次のとおりです。

$$\bar{x} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = \frac{15}{5} = 3$$

次に、平均 $3$ からの絶対偏差は $2, 1, 0, 1, 2$ で、その和は $6$ です。平均絶対偏差は次のとおりです。

$$MAD = \frac{6}{5} = 1.2$$

集合 $2, 2, 4, 4$ では平均は $3$、絶対偏差は $1, 1, 1, 1$ なので、次のようになります。

$$MAD = \frac{1 + 1 + 1 + 1}{4} = 1$$

$10, 10, 10$ のようにすべての値が同一の場合、平均は $10$、各偏差は $0$ で、平均絶対偏差は $0$ です。散らばりはまったくありません。

実用上の注意

平均絶対偏差は、説明しやすく、極端な値の過大な影響に強いばらつきの尺度が欲しいときに好まれます。偏差を二乗しないため、ひとつの遠く離れた点が MAD を押し上げる度合いは、標準偏差を押し上げる度合いより小さく、これにより MAD は典型的な散らばりのより頑健な要約となります。

これは、偏差を測る基準となる中心値を提供する平均や、データ集合の中心と形状をより十分に把握するための平均・中央値・最頻値と自然に組み合わさります。MAD は決して負になることはなく、すべての値が平均に等しいときにのみゼロになります。