Zスコア計算機

Zスコアとは何ですか？

Zスコア（標準化得点とも呼ばれます）は、単一の値がそのグループの平均からどれだけ離れているかを、標準偏差で測定して示します。Zスコアが 0 であれば、その値はちょうど平均であることを意味します。正のZスコアは値が平均を上回ることを意味し、負のZスコアは平均を下回ることを意味します。単位がドル、センチメートル、テストの点数ではなく「標準偏差」であるため、Zスコアはまったく異なる尺度から来る数値を比較できるようにします。

この計算機は4方向に動作します。求めたいものを選び、他の3つのボックスを埋めると、欠けているものを求めます: Zスコアそのもの、生の値 x、平均 μ、または標準偏差 σ です。

計算機はどのように動作しますか？

Zスコアは、値と平均の差を標準偏差で割ったものです：

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

ここで：

• x はスコアを付ける生の値です。
• μ（ミュー）は母集団または標本の平均です。
• σ（シグマ）は標準偏差で、ゼロより大きくなければなりません。

同じ方程式を並べ替えて、他のどの量も分離できます：

$$x = \mu + z\sigma \qquad \mu = x - z\sigma \qquad \sigma = \frac{x - \mu}{z}$$

計算機は選択した値に一致する並べ替えを単に適用するため、手作業で代数を行う必要は決してありません。

計算例

1. Zスコアを求める。 ある生徒がテストで x = 85 を取り、クラスの平均が μ = 70、標準偏差が σ = 10 です。 $z = \frac{85 - 70}{10} = 1.5$ この得点は平均より1.5標準偏差上です。

2. 平均に等しい値。 x = 70、μ = 70、σ = 10 の場合： $z = \frac{70 - 70}{10} = 0$ この値はちょうど平均に位置するため、そのZスコアは 0 です。

3. 生の値を求める。 Zスコアが z = 2、平均が μ = 100、標準偏差が σ = 15 であると分かっています。計算機を切り替えて生の値を求めます： $x = 100 + 2 \times 15 = 130$ 130 という値は平均より2標準偏差上に位置します。

実用的な注釈

• 標準偏差は正でなければなりません。標準偏差がゼロであれば、すべての値が同一であることを意味し、Zスコアは未定義になります。
• 負のZスコアは正常で予想されるものです。それらは単に平均を下回る値を表します。
• グループ全体のデータがある場合は母集団の平均と標準偏差を使用し、部分集合から作業している場合は標本版を使用してください。
• Zスコアが得られたら、標準正規分布表で調べてパーセンタイルや確率を推定できます。

よくある質問

Zスコアは負になり得ますか？

はい。平均を下回る任意の値は負のZスコアを生成します。例えば、平均より1.5標準偏差下の値はZスコアが -1.5 です。

Zスコアが0であることは何を意味しますか？

それは値が平均にちょうど等しいことを意味します。平均からの偏差はありません。

なぜ標準偏差はゼロより大きくなければならないのですか？

公式は σ で割ります。標準偏差がゼロであれば割り算は未定義になり、実際にはデータにまったく広がりがないことを意味します。

Zスコアはパーセンタイルと同じですか？

直接的には違います。Zスコアは平均からの距離を標準偏差で測定し、一方パーセンタイルはある点を下回る値の割合を報告します。標準正規分布表を使ってZスコアをパーセンタイルに変換できます。