육각형 계산기

육각형 계산기란?

육각형 계산기는 변이 모두 같고 각이 모두 같은 여섯 변의 도형인 정육각형을 위한 올인원 도구입니다. 측정값 중 하나를 입력하면 나머지 모든 값이 즉시 나타납니다. 변의 길이, 넓이, 둘레, 긴 대각선과 짧은 대각선, 외접원 반지름, 내접원 반지름입니다. 기하 문제를 푸는 학생, 타일이나 볼트를 자르는 장인, 벌집 무늬를 배치하는 누구에게나 유용합니다. 정육각형은 평면을 빈틈없이 채우기 때문에 거듭 등장합니다.

정육각형의 성질

정육각형은 여섯 개의 같은 변과 각각 120도인 여섯 개의 내각을 가집니다. 중심에서 만나는 여섯 개의 합동인 정삼각형으로 나눌 수 있어, 외접원 반지름 — 중심에서 꼭짓점까지의 거리 — 은 정확히 변의 길이와 같습니다. 육각형에는 두 종류의 대각선이 있습니다. 중심을 지나 마주 보는 꼭짓점을 잇는 세 개의 긴 대각선과, 한 꼭짓점을 건너뛰는 여섯 개의 짧은 대각선입니다. 긴 대각선은 변의 두 배이고, 짧은 대각선은 변에 3의 제곱근을 곱한 값과 같습니다.

계산기는 어떻게 작동하나요?

아무 칸에나 값을 입력하면 계산기는 먼저 그로부터 변의 길이를 구한 다음 나머지 모든 성질을 채웁니다. 따라서 변, 넓이, 둘레, 두 대각선 중 하나, 외접원 또는 내접원 반지름에서 시작해도 항상 육각형의 완전한 설명을 얻습니다. 각 길이 칸은 서로 다른 단위를 받아들이며, 단위 간 변환은 자동으로 이루어집니다.

공식

변의 길이를 $a$ 라 하면 정육각형의 넓이는 다음과 같습니다.

$$A = \frac{3\sqrt{3}}{2}\,a^2$$

둘레는 변의 여섯 배입니다.

$$P = 6a$$

긴 대각선(꼭짓점에서 마주 보는 꼭짓점까지)과 짧은 대각선(한 꼭짓점을 건너뛰어)은 다음과 같습니다.

$$D = 2a \qquad d = \sqrt{3}\,a$$

외접원 반지름 $R$(중심에서 꼭짓점까지)은 변과 같고, 내접원 반지름 $r$(중심에서 한 변의 중점까지, 아포템이라고도 함)은 다음과 같습니다.

$$R = a \qquad r = \frac{\sqrt{3}}{2}\,a$$

여기서 $A$ 는 넓이, $P$ 는 둘레, $D$ 와 $d$ 는 긴 대각선과 짧은 대각선, $R$ 은 외접원 반지름, $r$ 은 내접원 반지름, $a$ 는 변의 길이입니다.

예시

1. 변이 10 cm인 정육각형:

$$A = \frac{3\sqrt{3}}{2}\times 10^2 \approx 259.81 \text{ square centimeters}$$ $$P = 6 \times 10 = 60 \text{ centimeters}$$ $$D = 2 \times 10 = 20 \text{ centimeters} \qquad d = \sqrt{3}\times 10 \approx 17.32 \text{ centimeters}$$ $$R = 10 \text{ centimeters} \qquad r = \frac{\sqrt{3}}{2}\times 10 \approx 8.66 \text{ centimeters}$$

2. 둘레 60 cm에서 거꾸로 계산하면 변은 $60 / 6 = 10$ cm가 되어 위의 모든 값을 다시 만듭니다.

실용적인 참고 사항

• 외접원 반지름이 변과 같으므로 정육각형은 반지름이 변의 길이인 원 안에 정확히 들어맞습니다. 컴퍼스로 그릴 때 편리합니다.
• 내접원 반지름은 아포템이라고도 하며, 육각형 안에 들어가는 가장 큰 원의 반지름입니다.
• 변의 수가 다른 도형의 경우 정다각형 넓이 계산기와 정다각형 둘레 계산기가 이 공식을 일반화합니다.

자주 묻는 질문

정육각형의 넓이는 어떻게 구하나요?

변의 길이를 제곱한 뒤 $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ 를 곱합니다. 변이 10이면 넓이는 $\frac{3\sqrt{3}}{2}\times 100 \approx 259.81$ 입니다.

긴 대각선과 짧은 대각선의 차이는 무엇인가요?

긴 대각선은 마주 보는 두 꼭짓점을 잇고 중심을 지나므로 $2a$ 와 같습니다. 짧은 대각선은 한 꼭짓점을 사이에 둔 두 꼭짓점을 잇고 $\sqrt{3}\,a$ 와 같아 더 짧습니다.

외접원 반지름은 왜 변과 같나요?

정육각형은 중심에서 만나는 여섯 개의 정삼각형으로 나뉩니다. 각 삼각형은 중심에서 꼭짓점까지의 거리와 변을 두 개의 같은 변으로 가지므로 외접원 반지름은 정확히 변의 길이입니다.

육각형의 아포템은 무엇인가요?

아포템은 내접원 반지름으로, 중심에서 한 변의 중점까지의 거리입니다. 정육각형에서는 $\frac{\sqrt{3}}{2}\,a$ 와 같으며, 변의 약 0.866배입니다.