근의 공식 계산기

근의 공식 계산기란 무엇인가요?

근의 공식 계산기는 $a x^2 + b x + c = 0$ 형태의 이차 방정식을 풀어 실근을 구합니다. 세 계수 — 최고차항 계수 $a$, 일차항 계수 $b$, 상수항 $c$ — 를 입력하면 계산기가 판별식과 함께 두 실근 $x_1$ 과 $x_2$ 를 각각 소수점 넷째 자리까지 반올림하여 반환합니다.

이차 방정식은 이차 다항 방정식으로, 미지수의 최고 차수가 2임을 의미합니다. $a \neq 0$ 인 한 방정식은 포물선을 나타내며, 그 실근은 정확히 그 포물선이 가로축과 만나는 점입니다.

어떻게 작동하나요?

근은 근의 공식으로 구합니다.

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

제곱근 아래의 식 $b^2 - 4ac$ 는 판별식이라고 하며 보통 $\Delta$ 로 표기합니다.

$\Delta = b^2 - 4ac$

판별식은 근을 계산하기도 전에 방정식이 실근을 몇 개 가지는지 알려줍니다.

• $\Delta > 0$ 이면 서로 다른 두 실근이 있습니다.
• $\Delta = 0$ 이면 **하나의 중근(실수의 중복근)**이 있습니다(두 해가 일치합니다).
• $\Delta < 0$ 이면 실근이 없습니다 — 해는 켤레 복소수 쌍이므로 계산기는 근 입력란을 비워 둡니다.

계산기는 또한 $a \neq 0$ 을 요구합니다. $a = 0$ 일 때 방정식은 더 이상 이차가 아니라 일차이므로 이차 방정식의 근은 보고되지 않습니다.

풀이 예제

예제 1 — 두 근. $x^2 - 3x + 2 = 0$ 을 풀면 $a = 1$, $b = -3$, $c = 2$ 입니다.

$\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$

이로써 $x_1 = 2$ 와 $x_2 = 1$ 을 얻습니다.

예제 2 — 중근. $x^2 + 2x + 1 = 0$ 을 풀면 $a = 1$, $b = 2$, $c = 1$ 입니다.

$\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4 - 4 = 0$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{0}}{2} = -1$

두 근이 모두 $-1$ 로, 포물선이 축에 접하는 유일한 점입니다.

예제 3 — 실근 없음. $x^2 + 1 = 0$ 을 풀면 $a = 1$, $b = 0$, $c = 1$ 입니다.

$\Delta = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -4$

$\Delta < 0$ 이므로 실수해가 없으며, 계산기는 판별식만 반환하고 근 입력란은 비워 둡니다.

실용적인 참고 사항

부호가 중요합니다. $b$ 와 $c$ 는 마이너스 기호를 포함하여 나타나는 그대로 입력하세요. 따라서 첫 번째 예제에서는 $b$ 에 -3 을 입력합니다. 결과는 소수점 넷째 자리까지 반올림되며, 이는 보통 그래프 작성, 물리학, 공학 작업에 충분하고도 남지만 $\sqrt{2}$ 같은 무리수 근은 소수 근사값으로 표시됨을 의미합니다.

근의 공식은 다른 대수 도구와 밀접하게 관련되어 있습니다. 근을 구한 뒤에는 방정식을 인수분해된 형태 $a(x - x_1)(x - x_2)$ 로 다시 구성할 수 있으며, 이는 인수 계산기와 자연스럽게 연결됩니다. 공식의 핵심에 있는 제곱근 단계는 세제곱근 계산기 뒤에 있는 개념을 일반화한 것이며, 제곱항은 지수 계산기를 통한 수의 거듭제곱과 연결됩니다.