동전 던지기 확률 계산기

동전 던지기 확률 계산기란?

동전 던지기 확률 계산기는 동전을 여러 번 던질 때 특정 횟수만큼 앞면이 나올 가능성을 구합니다. 각 던지기는 앞면 또는 뒷면이라는 두 가지 결과를 갖는 독립 시행이므로, 일련의 던지기는 이항 분포를 따릅니다. 이 계산기는 “10번 던져 정확히 5번 앞면이 나올 확률은?” 또는 “3번 던져 최소 2번 앞면이 나올 확률은?”과 같은 질문에 답합니다.

공정한 동전과 편향된 동전 모두에 사용할 수 있습니다. 앞면 확률 $p$를 0과 1 사이의 임의의 값으로 설정할 수 있으므로, 같은 도구로 무게가 치우친 동전이나 고정된 횟수만큼 반복하는 다른 예/아니오 실험도 다룰 수 있습니다.

계산기는 어떻게 작동하나요?

세 가지 값을 입력하고 무엇을 계산할지 선택합니다.

• 던진 횟수 ($n$) — 동전을 던지는 횟수(정수 $\ge 1$).
• 앞면 횟수 ($k$) — 관심 있는 앞면의 횟수($0 \le k \le n$를 만족하는 정수).
• 앞면 확률 ($p$) — 한 번 던질 때 앞면이 나올 확률, 0과 1 사이(공정한 동전은 0.5).

계산 옵션은 세 가지 질문 중 하나를 선택합니다.

• 정확히 k번 앞면 — 정확히 $k$번 앞면이 나올 확률.
• 최대 k번 앞면 — 앞면이 $k$번 이하 나올 누적 확률.
• 최소 k번 앞면 — 앞면이 $k$번 이상 나올 누적 확률.

결과는 0과 1 사이의 확률(소수점 여섯 자리로 반올림)과 백분율로 표시됩니다.

공식

$n$번 던져 정확히 $k$번 앞면이 나올 확률은 이항 분포의 확률 질량 함수입니다.

$$P(X = k) = \binom{n}{k}\, p^{k} (1-p)^{n-k}$$

여기서 이항 계수는 다음과 같습니다.

$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$$

누적 경우는 각 항을 더합니다.

$$P(X \le k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i}\, p^{i} (1-p)^{n-i}$$ $$P(X \ge k) = \sum_{i=k}^{n} \binom{n}{i}\, p^{i} (1-p)^{n-i}$$

계산 예시

1. 공정한 10번 던지기에서 정확히 5번 앞면. $n = 10$, $k = 5$, $p = 0.5$일 때: $\binom{10}{5} = 252$이므로 $P = 252 \times 0.5^{5} \times 0.5^{5} = 252 / 1024 \approx 0.246094$(약 24.61%).

2. 공정한 2번 던지기에서 정확히 1번 앞면. $n = 2$, $k = 1$, $p = 0.5$일 때: $\binom{2}{1} = 2$이므로 $P = 2 \times 0.5 \times 0.5 = 0.5$(50%).

3. 공정한 3번 던지기에서 최소 2번 앞면. $n = 3$, $k = 2$, $p = 0.5$일 때: $P(X \ge 2) = P(2) + P(3) = 0.375 + 0.125 = 0.5$(50%).

실용적인 참고 사항

• $k = 0$에서 “최소” 옵션은 항상 1을 반환하고, $k = n$에서 “최대” 옵션은 항상 1을 반환합니다. 모든 결과가 조건을 만족하기 때문입니다.
• 편향된 동전의 경우 $p$를 변경하세요. 예를 들어 $n = 5$, $k = 2$, $p = 0.3$은 $\binom{5}{2} \times 0.3^{2} \times 0.7^{3} = 0.3087$을 줍니다.
• 이항 모델은 각 던지기가 독립적이고 $p$가 매번 동일하게 유지된다고 가정합니다.

관련 개념을 살펴보려면 증거로 확률을 갱신하는 베이즈 정리 계산기나 데이터를 요약하는 평균 계산기를 참조하세요.