신뢰 구간 계산기

신뢰 구간이란?

신뢰 구간은 알 수 없는 모수(여기서는 모평균)에 대한 그럴듯한 값들의 범위입니다. 단일 점추정값을 보고하는 대신, 그 추정의 불확실성을 하한과 상한으로 표현합니다.

예를 들어 95% 신뢰 구간은, 동일한 표본 추출 절차를 여러 번 반복했을 때 구성한 구간 중 약 95%가 참 평균을 포함한다는 것을 의미합니다. 구간의 너비는 데이터의 변동 정도, 관측값의 수, 그리고 원하는 확신 정도에 따라 달라집니다.

이 계산기는 z(정규) 근사를 사용하며, 이는 모표준편차가 알려져 있거나 표본이 중심극한정리가 적용될 만큼 충분히 클 때 적합합니다.

계산기는 어떻게 작동하나요?

네 가지 정보를 입력합니다.

• 표본 평균 (x̄): 관측값의 평균.
• 표준편차 (σ): 데이터의 산포; 양수여야 합니다.
• 표본 크기 (n): 관측값의 수; 1 이상의 정수.
• 신뢰 수준: 원하는 확신 정도: 90%, 95% 또는 99%.

각 신뢰 수준은 임계 z 값에 대응합니다.

계산기는 오차 한계, 하한, 상한을 반환합니다.

공식

평균의 표준오차는 다음과 같습니다.

$$SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

오차 한계는 표준오차를 임계 z 값으로 확대합니다.

$$E = z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

따라서 평균의 신뢰 구간은 다음과 같습니다.

$$\bar{x} \pm z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

풀이 예제

예제 1: x̄ = 100, σ = 15, n = 36, 95%

표준오차는 다음과 같습니다.

$$SE = \frac{15}{\sqrt{36}} = \frac{15}{6} = 2.5$$

z = 1.96일 때 오차 한계는 다음과 같습니다.

$$E = 1.96 \times 2.5 = 4.9$$

따라서 95% 신뢰 구간은 [95.1, 104.9]입니다.

예제 2: x̄ = 50, σ = 10, n = 25, 99%

표준오차는 다음과 같습니다.

$$SE = \frac{10}{\sqrt{25}} = \frac{10}{5} = 2$$

z = 2.576일 때 오차 한계는 다음과 같습니다.

$$E = 2.576 \times 2 = 5.152$$

따라서 99% 신뢰 구간은 [44.848, 55.152]입니다.

실용적인 참고 사항

• 신뢰 수준이 높을수록 구간이 넓어집니다. 참 평균을 포착했다는 확신을 높이려면 더 큰 범위가 필요합니다.
• 표본 크기가 클수록 구간이 좁아집니다. 표준오차가 √n에 따라 작아지기 때문입니다.
• z 근사는 평균의 표본분포가 근사적으로 정규임을 가정합니다. 표준편차를 모르는 작은 표본의 경우 보통 t 구간이 더 정확합니다.
• 오차 한계는 대칭이므로 구간은 항상 표본 평균을 중심으로 합니다.