Kalkulator rentowności do wykupu

Czym jest kalkulator rentowności do wykupu?

Kalkulator rentowności do wykupu to bezpłatne narzędzie online, które wyznacza całkowity roczny zwrot, jaki inwestor uzyskuje, kupując obligację dzisiaj i trzymając ją do wykupu. Ten zwrot — rentowność do wykupu, czyli YTM — łączy wszystko, co obligacja ci wypłaca: każdą płatność kuponową po drodze oraz różnicę między ceną, którą płacisz teraz, a wartością nominalną, którą otrzymujesz na końcu. Ponieważ ujmuje wszystkie te przepływy pieniężne w jednej zannualizowanej stopie, YTM jest standardowym sposobem porównywania obligacji o różnych cenach, kuponach i terminach wykupu.

Dlaczego rentowność do wykupu ma znaczenie

Podana stopa kuponu obligacji informuje jedynie o okresowej płatności odsetkowej w stosunku do wartości nominalnej; nie mówi nic o tym, ile faktycznie zarabiasz, jeśli kupujesz obligację po cenie rynkowej różniącej się od nominału. Gdy obligacja jest notowana z dyskontem (poniżej wartości nominalnej), część twojego zwrotu pochodzi ze wzrostu ceny do nominału w momencie wykupu, więc YTM jest wyższa niż stopa kuponu. Gdy obligacja jest notowana z premią (powyżej wartości nominalnej), dzieje się odwrotnie i YTM jest niższa niż stopa kuponu. YTM łączy oba efekty w jednej liczbie, dlatego jest to wartość przytaczana, gdy profesjonaliści mówią o zwrocie z obligacji.

Jak działa kalkulator rentowności do wykupu?

Podajesz pięć informacji:

• Wartość nominalną (par) obligacji — kwotę zwracaną przy wykupie.
• Aktualną cenę rynkową obligacji.
• Roczną stopę kuponu (lub, jeśli wolisz, stałą roczną płatność kuponową w walucie).
• Liczbę lat do wykupu obligacji.
• Częstotliwość kuponu (roczna, półroczna, kwartalna lub miesięczna).

Kalkulator znajduje następnie jedyną stopę dyskontową, przy której wartość bieżąca wszystkich przyszłych kuponów plus końcowa spłata kapitału jest równa dzisiejszej cenie. Dla tej stopy nie ma algebraicznego skrótu, więc narzędzie rozwiązuje równanie numerycznie, wielokrotnie zbliżając się do odpowiedzi. Podaje również przybliżenie w postaci zamkniętej, przydatne jako szybkie sprawdzenie wiarygodności.

Wzór

Cena obligacji to wartość bieżąca każdego przyszłego przepływu pieniężnego zdyskontowanego rentownością do wykupu. Przy kuponach wypłacanych m razy w roku stopa okresowa to roczna rentowność podzielona przez m, a liczba okresów to lata do wykupu pomnożone przez m:

$P = \sum_{t=1}^{N} \frac{C/m}{\left(1 + r/m\right)^{t}} + \frac{F}{\left(1 + r/m\right)^{N}}$

Gdzie:

• $P$ to aktualna cena obligacji.
• $C$ to roczna płatność kuponowa (stopa kuponu pomnożona przez wartość nominalną).
• $F$ to wartość nominalna (par).
• $r$ to roczna rentowność do wykupu (poszukiwana wartość).
• $m$ to liczba płatności kuponowych w roku.
• $N$ to całkowita liczba okresów kuponowych, równa latom do wykupu pomnożonym przez $m$.

Ponieważ $r$ występuje w każdym mianowniku, równania nie da się przekształcić, aby je wyodrębnić; kalkulator rozwiązuje je przez iterację numeryczną. Szeroko stosowane przybliżenie w postaci zamkniętej to:

$r \approx \frac{C + \dfrac{F - P}{n}}{\dfrac{F + P}{2}}$

Gdzie $n$ to lata do wykupu. To oszacowanie jest dokładne, gdy obligacja jest notowana po nominale, i nieznacznie odbiega dla obligacji z dużym dyskontem lub premią.

Przykłady użycia

1. 10-letnia obligacja z kuponami rocznymi (obligacja A z omnicalculator):

   • Wartość nominalna $F$ = 1000
   • Aktualna cena $P$ = 980
   • Roczna stopa kuponu = 5%, więc roczny kupon $C$ = 50
   • Lata do wykupu $n$ = 10, płatne rocznie ($m$ = 1)

   Rozwiązanie $980 = \sum_{t=1}^{10} \dfrac{50}{(1 + r)^{t}} + \dfrac{1000}{(1 + r)^{10}}$ daje rentowność do wykupu około 5,2623%. Przybliżenie daje $\dfrac{50 + (1000 - 980)/10}{(1000 + 980)/2} = \dfrac{52}{990} \approx 5,2525\%$ — bardzo blisko.

2. 5-letnia obligacja z kuponami półrocznymi:

   • Wartość nominalna $F$ = 1000
   • Aktualna cena $P$ = 950
   • Roczna stopa kuponu = 6%, więc roczny kupon $C$ = 60 (30 co sześć miesięcy)
   • Lata do wykupu = 5, płatne dwa razy w roku ($m$ = 2, więc $N$ = 10 okresów)

   Rozwiązanie dla rocznej rentowności daje YTM około 7,2087%.

3. Obligacja notowana dokładnie po nominale:

   • Wartość nominalna $F$ = 1000, cena $P$ = 1000, stopa kuponu = 5%, 10 lat

   Gdy cena jest równa wartości nominalnej, rentowność do wykupu jest dokładnie równa stopie kuponu: 5%.

Uwagi

Rentowność do wykupu zakłada, że trzymasz obligację do wykupu i że każdy kupon jest reinwestowany po tej samej stopie — założenia, które w praktyce rzadko są spełnione idealnie, więc zrealizowany zwrot może się różnić. YTM ignoruje również podatki i koszty transakcyjne. W przypadku obligacji, które emitent może wykupić wcześniej, bardziej konserwatywną wartością jest rentowność do wcześniejszego wykupu, która dyskontuje przepływy pieniężne tylko do daty wykupu. Pomimo tych zastrzeżeń YTM pozostaje najbardziej użyteczną pojedynczą liczbą do porównywania inwestycji o stałym dochodzie na jednorodnej podstawie.

Najczęściej zadawane pytania

Dlaczego YTM jest wyższa niż stopa kuponu dla obligacji z dyskontem?

Gdy kupujesz obligację poniżej jej wartości nominalnej, pobierasz kupony, a także zgarniasz zysk, gdy cena rośnie do nominału w momencie wykupu. Ten dodatkowy zysk kapitałowy podnosi twój całkowity zwrot powyżej stopy kuponu, więc YTM jest wyższa.

Czy rentowność do wykupu można rozwiązać za pomocą wzoru?

Niezupełnie. Rentowność występuje w mianowniku każdego zdyskontowanego przepływu pieniężnego, więc równania ceny nie da się przekształcić, aby ją wyodrębnić. Znajduje się ją przez iterację numeryczną, choć powyższe przybliżenie w postaci zamkniętej daje szybkie i dość dokładne oszacowanie.

Jak częstotliwość kuponu wpływa na wynik?

Częstotliwość kuponu określa, ile razy w roku odsetki są wypłacane i dyskontowane. Kalkulator przelicza roczną rentowność na stopę okresową i odpowiednio liczy okresy, więc obligacja płacąca półrocznie jest traktowana inaczej niż płacąca rocznie, nawet przy tej samej stopie kuponu.