Kalkulator długości cięciwy

Czym jest kalkulator długości cięciwy?

Cięciwa to odcinek prostej, którego oba końce leżą na okręgu. Najdłuższą cięciwą koła jest jego średnica; każda inna cięciwa jest krótsza i jest „opisana” przez pewien kąt środkowy — kąt utworzony w środku przez dwa promienie poprowadzone do końców cięciwy.

Ten kalkulator znajduje dowolną z trzech wielkości — długość cięciwy, promień lub kąt środkowy — gdy znane są pozostałe dwie. Kąt można podać w stopniach lub radianach, a promień i cięciwę w dowolnej standardowej jednostce długości.

Kluczowe pojęcia

• Promień (r) — odległość od środka koła do dowolnego punktu na jego obwodzie.
• Kąt środkowy (θ) — kąt utworzony w środku koła przez dwa promienie poprowadzone do końców cięciwy.
• Cięciwa (c) — odległość w linii prostej między dwoma końcami łuku, przecinająca koło zamiast podążać za jego krzywizną.
• Średnica — szczególny przypadek cięciwy, która przechodzi przez środek. Ma długość $2r$ i odpowiada kątowi środkowemu 180°.

Cięciwa i długość łuku opisują tę samą parę punktów końcowych z dwóch różnych perspektyw: cięciwa to skrót w linii prostej, łuk to droga wzdłuż okręgu.

Jak działa kalkulator?

Cięciwa, dwa promienie poprowadzone do jej końców oraz prostopadła opuszczona ze środka tworzą dwa przystające trójkąty prostokątne. Połowa cięciwy, promień i połowa kąta środkowego spełniają

$$\sin\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right) = \frac{c/2}{r}$$

co przekształca się we wzory używane przez kalkulator.

Wzory

Cięciwa z promienia i kąta środkowego:

$$c = 2 r \sin\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right)$$

Promień z cięciwy i kąta środkowego:

$$r = \frac{c}{2 \sin\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right)}$$

Kąt środkowy z cięciwy i promienia:

$$\theta = 2 \arcsin\!\left(\frac{c}{2r}\right)$$

W stopniach zastąp $\theta$ przez $\theta_{\text{deg}} \cdot \frac{\pi}{180}$ lub odczytaj kąt bezpośrednio z kalkulatora po przełączeniu wyboru jednostek.

Przykłady obliczeń

Przykład 1: cięciwa z promienia i kąta

Koło ma promień 10 cm i kąt środkowy 60°. Cięciwa wyznaczona przez ten kąt to

$$c = 2 \cdot 10 \cdot \sin(30°) = 2 \cdot 10 \cdot 0.5 = 10 \text{ cm}$$

Jest to znana tożsamość, zgodnie z którą cięciwa kąta 60° jest równa promieniowi — utworzony trójkąt jest równoboczny.

Przykład 2: cięciwa równa średnicy przy 180°

Dla promienia 5 m i kąta środkowego 180° (czyli $\pi$ radianów) cięciwa rozciąga się przez całe koło:

$$c = 2 \cdot 5 \cdot \sin(90°) = 10 \text{ m}$$

To jest średnica koła.

Przykład 3: promień z cięciwy i kąta

Cięciwa o długości 10 cm jest wyznaczona przez kąt środkowy 60°. Promień koła wynosi

$$r = \frac{10}{2 \sin(30°)} = \frac{10}{1} = 10 \text{ cm}$$

Przykład 4: kąt z cięciwy i promienia

Cięciwa o długości 10 cm jest narysowana w kole o promieniu 10 cm. Kąt środkowy wynosi

$$\theta = 2 \arcsin\!\left(\frac{10}{20}\right) = 2 \cdot 30° = 60°$$

Przykład 5: cięciwa ćwierci koła

Dla kąta 90° w kole o promieniu 1 cięciwa to $c = 2 \sin(45°) = \sqrt{2} \approx 1.4142$, podczas gdy długość łuku tego samego kąta wynosi $\pi/2 \approx 1.5708$. Łuk jest zawsze nieco dłuższy od cięciwy.

Zastosowania praktyczne

• Inżynieria — wytyczanie pasów i kół pasowych, gdzie odległość w linii prostej między punktami styku na dwóch kołach jest cięciwą każdego z nich.
• Architektura i stolarstwo — pomiary w poprzek łuku lub zakrzywionego okna, gdzie cięciwa daje rozpiętość, a długość łuku daje ilość materiału potrzebnego wzdłuż krzywizny.
• Geodezja — wyznaczanie położenia w terenie na podstawie kołowych punktów odniesienia; pomiary cięciw są łatwiejsze do zaznaczenia niż łuki.
• Astronomia — obliczanie pozornej średnicy odległych ciał, gdzie cięciwa przecinająca kołowy przekrój odpowiada obserwowanemu rozmiarowi.
• Geometria i trygonometria — zależność cięciwa/kąt jest jedną z pierwotnych definicji funkcji sinus i nadal pojawia się w obliczeniach wycinka koła i odcinka.

Uwagi

• Cięciwa nigdy nie może być dłuższa niż średnica ($c \le 2r$). Jeśli wprowadzisz cięciwę dłuższą od średnicy, kąt jest niezdefiniowany, a kalkulator nie zwraca wyniku.
• Kąt 0° daje cięciwę o długości 0 — końce się pokrywają.
• Kąt 180° daje średnicę; kąty większe od 180° zawijają się i dają tę samą cięciwę co ich dopełnienie do 360° (np. 200° i 160° dają identyczne cięciwy).
• Przy obliczaniu promienia z cięciwy i kąta, kąt nie może wynosić 0; przy obliczaniu kąta, promień nie może być równy 0.
• Jednostki promienia i cięciwy są zgodne: zmiana wyboru jednostki automatycznie przelicza wynik.