Kalkulator sześciokąta

Czym jest kalkulator sześciokąta?

Kalkulator sześciokąta to wszechstronne narzędzie dla sześciokąta foremnego, sześciobocznej figury o równych bokach i równych kątach. Wpisz dowolny z jego wymiarów, a wszystkie pozostałe wielkości pojawią się od razu: długość boku, pole, obwód, dłuższa i krótsza przekątna, promień okręgu opisanego oraz promień okręgu wpisanego. Jest przydatny dla uczniów rozwiązujących zadania z geometrii, dla majsterkowiczów tnących płytki lub śruby oraz dla każdego, kto układa wzór plastra miodu, gdzie sześciokąt foremny pojawia się raz po raz, ponieważ pokrywa płaszczyznę bez przerw.

Właściwości sześciokąta foremnego

Sześciokąt foremny ma sześć równych boków i sześć kątów wewnętrznych po 120 stopni każdy. Można go podzielić na sześć identycznych trójkątów równobocznych spotykających się w środku, dlatego jego promień okręgu opisanego — odległość od środka do wierzchołka — jest dokładnie równy długości boku. Sześciokąt ma dwa rodzaje przekątnych: trzy dłuższe przekątne przechodzące przez środek i łączące przeciwległe wierzchołki oraz sześć krótszych przekątnych pomijających jeden wierzchołek. Dłuższa przekątna jest dwukrotnością boku, a krótsza przekątna równa się bokowi pomnożonemu przez pierwiastek kwadratowy z trzech.

Jak działa kalkulator?

Wpisz wartość w dowolne pole, a kalkulator najpierw odtworzy z niej długość boku, a następnie uzupełni wszystkie pozostałe właściwości. Możesz więc zacząć od boku, pola, obwodu, jednej z przekątnych, promienia okręgu opisanego lub wpisanego i zawsze otrzymasz pełny opis sześciokąta. Każde pole długości przyjmuje różne jednostki, a przeliczenia między nimi odbywają się automatycznie.

Wzory

Przy długości boku $a$ pole sześciokąta foremnego wynosi:

Obwód jest sześciokrotnością boku:

Dłuższa przekątna (od wierzchołka do przeciwległego wierzchołka) i krótsza przekątna (od wierzchołka z pominięciem jednego) wynoszą:

Promień okręgu opisanego $R$ (od środka do wierzchołka) równy jest bokowi, a promień okręgu wpisanego $r$ (od środka do środka boku, zwany też apotemą) wynosi:

gdzie $A$ to pole, $P$ obwód, $D$ i $d$ dłuższa i krótsza przekątna, $R$ promień okręgu opisanego, $r$ promień okręgu wpisanego, a $a$ długość boku.

Przykłady

1. Sześciokąt foremny o boku 10 cm:

2. Licząc wstecz od obwodu 60 cm, bok wynosi $60 / 6 = 10$ cm, co odtwarza wszystkie powyższe wartości.

Uwagi praktyczne

• Ponieważ promień okręgu opisanego równy jest bokowi, sześciokąt foremny mieści się idealnie w okręgu, którego promień jest długością boku — przydatne przy rysowaniu go cyrklem.
• Promień okręgu wpisanego nazywany jest też apotemą; to promień największego okręgu mieszczącego się w sześciokącie.
• Dla figur o innej liczbie boków kalkulator pola wielokąta foremnego oraz kalkulator obwodu wielokąta foremnego uogólniają te wzory.

Najczęstsze pytania

Jak znaleźć pole sześciokąta foremnego?

Podnieś długość boku do kwadratu i pomnóż przez $\frac{3\sqrt{3}}{2}$. Dla boku 10 pole wynosi $\frac{3\sqrt{3}}{2}\times 100 \approx 259.81$.

Jaka jest różnica między dłuższą a krótszą przekątną?

Dłuższa przekątna łączy dwa przeciwległe wierzchołki i przechodzi przez środek, więc równa jest $2a$. Krótsza przekątna łączy dwa wierzchołki oddzielone jednym wierzchołkiem i równa jest $\sqrt{3}\,a$, co jest krótsze.

Dlaczego promień okręgu opisanego równy jest bokowi?

Sześciokąt foremny dzieli się na sześć trójkątów równobocznych spotykających się w środku. Każdy trójkąt ma odległość od środka do wierzchołka oraz bok jako dwie ze swoich równych krawędzi, więc promień okręgu opisanego jest dokładnie długością boku.

Czym jest apotema sześciokąta?

Apotema to promień okręgu wpisanego — odległość od środka do środka boku. Dla sześciokąta foremnego wynosi $\frac{\sqrt{3}}{2}\,a$, około 0.866 boku.