Kalkulator arcus cosinus

Czym jest kalkulator arcus cosinus?

Kalkulator arcus cosinus odpowiada na pytanie „który kąt ma ten cosinus?”. Funkcja cosinus przyjmuje kąt i zwraca stosunek z przedziału od -1 do 1. Arcus cosinus, zapisywany jako $\arccos$ lub $\cos^{-1}$, odwraca tę operację: podajesz mu wartość $x$ z przedziału $[-1, 1]$, a on zwraca kąt $\theta$, którego cosinus jest równy $x$.

Ten kalkulator podaje wynik jednocześnie w dwóch jednostkach: w stopniach i w radianach. Jest to wygodne niezależnie od tego, czy rozwiązujesz zadanie z geometrii w stopniach, czy zadanie z analizy matematycznej lub fizyki w radianach.

Jak to działa?

Cosinus kąta to współrzędna x odpowiadającego punktu na okręgu jednostkowym. Dla każdej wartości $x$ z przedziału od -1 do 1 istnieje nieskończenie wiele kątów o tym cosinusie, dlatego arcus cosinus jest zdefiniowany tak, aby zwracać pojedynczą wartość główną w zakresie:

$0 \le \theta \le 180^\circ \quad (0 \le \theta \le \pi \text{ radians})$

Zależność jest następująca:

$\theta = \arccos(x)$

Ponieważ cosinus nigdy nie wychodzi poza przedział $[-1, 1]$, każde wejście spoza tego zakresu nie ma odpowiadającego rzeczywistego kąta, a kalkulator po prostu nie zwraca żadnego wyniku.

Aby przeliczyć wartość główną z radianów na stopnie, pomnóż przez $\frac{180}{\pi}$:

$\theta_{\deg} = \arccos(x) \times \frac{180}{\pi}$

Rozwiązane przykłady

• $\arccos(0.5) = 60^\circ$, co odpowiada około $1.0472$ radiana ($\frac{\pi}{3}$).
• $\arccos(1) = 0^\circ$, czyli $0$ radianów, ponieważ cosinus kąta zerowego wynosi 1.
• $\arccos(0) = 90^\circ$, czyli około $1.5708$ radiana ($\frac{\pi}{2}$).
• $\arccos(-1) = 180^\circ$, czyli około $3.1416$ radiana ($\pi$).

Wpisanie wartości takiej jak $2$, która leży poza przedziałem $[-1, 1]$, nie zwraca nic, ponieważ żaden rzeczywisty kąt nie ma cosinusa większego niż 1.

Uwagi praktyczne

Arcus cosinus pojawia się zawsze, gdy trzeba odzyskać kąt ze stosunku. Częstym przykładem jest wzór z iloczynem skalarnym na kąt między dwoma wektorami, gdzie cosinus kąta jest równy iloczynowi skalarnemu podzielonemu przez iloczyn długości; obliczenie arcus cosinus tego stosunku daje kąt bezpośrednio. Pojawia się również w twierdzeniu cosinusów przy wyznaczaniu nieznanego kąta trójkąta.

Jeśli zamiast tego potrzebujesz cosinusa znanego kąta, działaj w drugą stronę za pomocą kalkulatora trygonometrii. Aby przeliczyć wynik między stopniami, radianami i gradami, użyj konwertera jednostek kąta.