Kalkulator równania prostej z dwóch punktów

Czym jest równanie prostej z dwóch punktów?

Dowolne dwa różne punkty, które nie leżą jeden nad drugim w pionie, wyznaczają dokładnie jedną prostą. Ten kalkulator przyjmuje współrzędne tych dwóch punktów, $(x_1, y_1)$ oraz $(x_2, y_2)$, i zwraca równanie prostej w postaci kierunkowej:

gdzie $m$ to współczynnik kierunkowy (jak stroma jest prosta), a $b$ to punkt przecięcia z osią y (miejsce, w którym prosta przecina oś pionową). Kalkulator podaje współczynnik kierunkowy, punkt przecięcia z osią y oraz złożone równanie.

Jak to działa?

Obliczenie odbywa się w dwóch krokach.

Krok 1 — współczynnik kierunkowy. Współczynnik kierunkowy to stosunek zmiany pionowej do zmiany poziomej między dwoma punktami:

Krok 2 — punkt przecięcia z osią y. Gdy znany jest już współczynnik kierunkowy, podstaw dowolny z punktów z powrotem do $y = mx + b$ i rozwiąż względem $b$:

Mając $m$ i $b$, równanie to po prostu $y = mx + b$.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1: prosta przez początek układu

Dla punktów $(0, 0)$ i $(2, 4)$:

Równanie to $y = 2x$. Ponieważ punkt przecięcia z osią y jest zerowy, prosta przechodzi przez początek układu.

Przykład 2: dodatni współczynnik z ujemnym wyrazem wolnym

Dla punktów $(1, 1)$ i $(3, 7)$:

Równanie to $y = 3x - 2$. Prosta przecina oś y dwie jednostki poniżej początku układu.

Przykład 3: prosta pozioma

Dla punktów $(1, 2)$ i $(5, 2)$:

Równanie to $y = 0x + 2$, prościej zapisane jako $y = 2$. Zerowy współczynnik kierunkowy oznacza, że prosta jest płaska.

A co z prostymi pionowymi?

Jeśli dwa punkty mają tę samą współrzędną x ($x_1 = x_2$), przyrost poziomy $x_2 - x_1$ jest zerowy, a współczynnik kierunkowy jest nieokreślony — nie można dzielić przez zero. Taka prosta jest pionowa, a jej równanie to $x = x_1$, którego nie da się zapisać w postaci $y = mx + b$. W tym przypadku kalkulator pozostawia współczynnik kierunkowy, punkt przecięcia z osią y oraz równanie puste.

Uwagi

• Sam współczynnik kierunkowy mówi Ci o kierunku prostej; połącz to narzędzie z kalkulatorem współczynnika kierunkowego, jeśli to wszystko, czego potrzebujesz.
• Kolejność dwóch punktów nie ma znaczenia. Ich zamiana neguje zarówno licznik, jak i mianownik współczynnika kierunkowego, pozostawiając $m$ niezmienionym, a punkt przecięcia z osią y wychodzi taki sam.
• Kalkulator punktu środkowego znajduje punkt w połowie drogi między dwiema współrzędnymi, który zawsze leży na tej samej prostej.

Najczęściej zadawane pytania

Jakie jest równanie prostej przechodzącej przez (1,1) i (3,7)?

Współczynnik kierunkowy to $3$, a punkt przecięcia z osią y to $-2$, więc równanie to $y = 3x - 2$.

Jak znaleźć punkt przecięcia z osią y z dwóch punktów?

Najpierw oblicz współczynnik kierunkowy $m$, a następnie podstaw jeden punkt do $b = y_1 - m x_1$. Dla $(1,1)$ przy $m = 3$ daje to $b = 1 - 3 = -2$.

Dlaczego nie ma równania dla dwóch pionowych punktów?

Gdy oba punkty mają tę samą współrzędną x, prosta jest pionowa, jej współczynnik kierunkowy jest nieokreślony i nie da się jej wyrazić jako $y = mx + b$. Jej równaniem jest zamiast tego $x = x_1$.