Kalkulator permutacji

Co to jest kalkulator permutacji?

Kalkulator permutacji informuje, ile różnych uporządkowanych układów można utworzyć, wybierając $r$ elementów z większego zbioru $n$ różnych elementów. Ponieważ kolejność ma znaczenie, wybranie elementu A, a następnie elementu B, jest liczone oddzielnie od wybrania B, a następnie A.

Permutacje pojawiają się zawsze, gdy trzeba policzyć sekwencje: przyznawanie medali złotych, srebrnych i brązowych biegaczom, wybór przewodniczącego, wiceprzewodniczącego i skarbnika z klubu, czy obliczanie, ile różnych haseł lub układów PIN jest możliwych.

Jak to działa?

Wprowadź łączną liczbę elementów $n$ oraz to, ile chcesz ułożyć $r$. Kalkulator oblicza standardowy wzór na permutacje i natychmiast zwraca wynik. Oczekuje liczb całkowitych i nieujemnych oraz wymaga $r \le n$ — nie można ułożyć więcej elementów, niż się posiada.

Liczba permutacji $r$ elementów wybranych z $n$ wynosi:

${}^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$

Tutaj $n!$ (czytane „n silnia”) to iloczyn wszystkich dodatnich liczb całkowitych aż do $n$, a $0! = 1$ z definicji. W przeciwieństwie do kombinacji, permutacja rozróżnia różne uporządkowania tego samego wyboru.

Przykłady użycia

• n = 5, r = 2. ${}^{5}P_{2} = \frac{5!}{3!} = \frac{120}{6} = 20$ par uporządkowanych.
• n = 10, r = 3. ${}^{10}P_{3} = \frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720$ układów.
• n = 5, r = 5. ${}^{5}P_{5} = \frac{5!}{0!} = 120$, co jest po prostu $5!$ — każde pełne uporządkowanie wszystkich pięciu elementów.
• n = 5, r = 0. ${}^{5}P_{0} = \frac{5!}{5!} = 1$, jedyny „pusty” układ.

Jeśli poprosisz o $r > n$ — na przykład $n = 3$ i $r = 5$ — wynik pozostaje pusty, ponieważ nie istnieje żaden poprawny układ.

Uwagi praktyczne

Gdy kolejność nie ma znaczenia, potrzebujesz zamiast tego kombinacji, która dzieli liczbę permutacji przez $r!$, aby usunąć powtarzające się uporządkowania. Elementem budulcowym obu jest silnia, a wzrost tych liczb jest ściśle powiązany z powtarzalnym mnożeniem badanym w kalkulatorze potęg.

Ponieważ silnie rosną bardzo szybko, liczby permutacji mogą stać się ogromne: ${}^{20}P_{20} = 20!$ już przekracza $2.4 \times 10^{18}$. Dla dużych $n$ wynik jest przybliżeniem ograniczonym przez precyzję zmiennoprzecinkową.