Kalkulator pola pięciokąta foremnego

Czym jest kalkulator pola pięciokąta foremnego?

Kalkulator pola pięciokąta foremnego znajduje pole zamknięte przez pięciokąt, którego wszystkie boki mają tę samą długość, a wszystkie kąty wewnętrzne wynoszą 108°. Jedyną potrzebną miarą jest długość boku — każdy inny wymiar (apotema, przekątna, promień okręgu opisanego) jest ustalony przez geometrię, gdy znany jest bok.

Narzędzie przyjmuje pojedynczą długość boku w dowolnej powszechnej jednostce i zwraca pole w odpowiedniej jednostce kwadratowej. Zmiana jednostki boku lub pola automatycznie przelicza wynik.

Kluczowe pojęcia

• Długość boku (s) — długość jednej z pięciu równych krawędzi pięciokąta.
• Apotema (a) — prostopadła odległość od środka pięciokąta do środka dowolnego boku. Dla pięciokąta foremnego $a = \frac{s}{2 \tan(36°)}$.
• Kąt wewnętrzny — każdy z pięciu kątów wewnętrznych pięciokąta foremnego jest równy 108°.
• Złoty podział — pięciokąt foremny jest słynnie powiązany ze $\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$; stosunek dowolnej przekątnej do boku jest równy $\varphi$.

Jak działa kalkulator?

Pole pięciokąta foremnego zależy od kwadratu długości boku pomnożonego przez stałą. Stała ta wynika z podziału pięciokąta na pięć przystających trójkątów równoramiennych spotykających się w środku, obliczenia pola każdego z nich i ich zsumowania.

Wzór

Równoważna postać oparta na apotemie, użyteczna, gdy apotema jest już znana, to:

gdzie $P = 5s$ to obwód, a $a$ to apotema.

Przykłady obliczeń

Przykład 1: bok = 10 cm

Przykład 2: bok = 1

Jest to bezwymiarowa stała: pole pięciokąta foremnego o jednostkowym boku.

Przykład 3: bok = 5

Przykład 4: sprawdzenie przez apotemę

Dla $s = 10$ cm apotema wynosi $a = \frac{10}{2 \tan(36°)} \approx 6{,}8819$ cm, więc

co pokrywa się z Przykładem 1.

Zastosowania praktyczne

• Architektura i projektowanie — układanie pięciokątnych podłóg, płytek, altan lub okien.
• Inżynieria — wymiarowanie pięciokątnych przekrojów śrub, nakrętek i elementów konstrukcyjnych.
• Kartografia i planowanie — szacowanie powierzchni pięciokątnych działek lub budynków (Pentagon w Arlington jest najsłynniejszym przykładem).
• Matematyka i edukacja — ilustracja złotego podziału, wykazanie, że wielokąty foremne mają zamknięte wzory na pole, oraz porównanie z kalkulatorem pola wielokąta foremnego dla ogólnego $n$.

Uwagi

• Długość boku musi być dodatnia, aby wynik miał sens; zerowy bok daje zerowe pole.
• Jednostki boku i pola odpowiadają sobie: bok w metrach daje pole w metrach kwadratowych. Zmiana selektorów jednostek automatycznie przelicza wynik.
• W przypadku innych wielokątów foremnych zobacz kalkulator pola sześciokąta foremnego i kalkulator pola ośmiokąta foremnego.