Kalkulator prawdopodobieństwa rzutu monetą

Czym jest kalkulator prawdopodobieństwa rzutu monetą?

Kalkulator prawdopodobieństwa rzutu monetą oblicza, jak prawdopodobna jest określona liczba orłów, gdy rzucasz monetą kilka razy. Każdy rzut to niezależna próba o dwóch możliwych wynikach — orzeł lub reszka — więc ciąg rzutów podlega rozkładowi dwumianowemu. Kalkulator odpowiada na pytania takie jak „Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie 5 orłów w 10 rzutach?” lub „Jakie jest prawdopodobieństwo co najmniej 2 orłów w 3 rzutach?”.

Działa zarówno dla monet uczciwych, jak i obciążonych. Ustawiasz prawdopodobieństwo orła $p$ na dowolną wartość od 0 do 1, więc to samo narzędzie obejmuje także monety obciążone oraz każdy inny eksperyment tak/nie powtarzany ustaloną liczbę razy.

Jak działa kalkulator?

Podajesz trzy dane i wybierasz, co obliczyć:

• Liczba rzutów ($n$) — ile razy moneta jest rzucana (liczba całkowita $\ge 1$).
• Liczba orłów ($k$) — liczba orłów, która Cię interesuje (liczba całkowita z $0 \le k \le n$).
• Prawdopodobieństwo orła ($p$) — szansa na orła w pojedynczym rzucie, od 0 do 1 (0,5 dla uczciwej monety).

Opcja Oblicz wybiera jedno z trzech pytań:

• Dokładnie k orłów — prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie $k$ orłów.
• Co najwyżej k orłów — skumulowane prawdopodobieństwo uzyskania $k$ lub mniej orłów.
• Co najmniej k orłów — skumulowane prawdopodobieństwo uzyskania $k$ lub więcej orłów.

Wynik jest pokazywany jako prawdopodobieństwo od 0 do 1 (zaokrąglone do sześciu miejsc po przecinku) oraz jako procent.

Wzory

Prawdopodobieństwo dokładnie $k$ orłów w $n$ rzutach to funkcja masy prawdopodobieństwa rozkładu dwumianowego:

gdzie współczynnik dwumianowy wynosi

Przypadki skumulowane sumują poszczególne wyrazy:

Przykłady rozwiązane

1. Dokładnie 5 orłów w 10 uczciwych rzutach. Dla $n = 10$, $k = 5$, $p = 0,5$: $\binom{10}{5} = 252$, więc $P = 252 \times 0{,}5^{5} \times 0{,}5^{5} = 252 / 1024 \approx 0{,}246094$ (około 24,61%).

2. Dokładnie 1 orzeł w 2 uczciwych rzutach. Dla $n = 2$, $k = 1$, $p = 0,5$: $\binom{2}{1} = 2$, więc $P = 2 \times 0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}5$ (50%).

3. Co najmniej 2 orły w 3 uczciwych rzutach. Dla $n = 3$, $k = 2$, $p = 0,5$: $P(X \ge 2) = P(2) + P(3) = 0{,}375 + 0{,}125 = 0{,}5$ (50%).

Uwagi praktyczne

• Dla $k = 0$ z opcją „co najmniej” zawsze otrzymuje się 1, a dla $k = n$ z opcją „co najwyżej” zawsze otrzymuje się 1, ponieważ każdy wynik spełnia warunek.
• W przypadku obciążonej monety zmień $p$. Na przykład $n = 5$, $k = 2$, $p = 0,3$ daje $\binom{5}{2} \times 0{,}3^{2} \times 0{,}7^{3} = 0{,}3087$.
• Model dwumianowy zakłada, że rzuty są niezależne i że $p$ pozostaje takie samo przy każdym rzucie.

Aby poznać powiązane idee, zobacz kalkulator twierdzenia Bayesa do aktualizowania prawdopodobieństw na podstawie dowodów lub kalkulator średniej do podsumowywania danych.