Kalkulator przedziału ufności

Czym jest przedział ufności?

Przedział ufności to zakres prawdopodobnych wartości nieznanego parametru populacji, w tym przypadku średniej populacji. Zamiast podawać pojedyncze oszacowanie punktowe, wyraża niepewność wokół tego oszacowania za pomocą dolnej i górnej granicy.

95-procentowy przedział ufności oznacza na przykład, że gdybyś wielokrotnie powtórzył tę samą procedurę losowania próby, około 95% zbudowanych przedziałów zawierałoby prawdziwą średnią. Szerokość przedziału zależy od tego, jak bardzo zmienne są twoje dane, ile masz obserwacji i jak bardzo chcesz być pewny.

Ten kalkulator korzysta z przybliżenia z (normalnego), które jest odpowiednie, gdy odchylenie standardowe populacji jest znane lub gdy próba jest na tyle duża, by zadziałało centralne twierdzenie graniczne.

Jak działa kalkulator?

Podajesz cztery informacje:

• Średnia z próby (x̄): średnia twoich obserwacji.
• Odchylenie standardowe (σ): rozproszenie danych; musi być dodatnie.
• Liczebność próby (n): liczba obserwacji; liczba całkowita co najmniej 1.
• Poziom ufności: jak bardzo chcesz być pewny: 90%, 95% lub 99%.

Każdy poziom ufności odpowiada krytycznej wartości z:

Kalkulator zwraca margines błędu, dolną granicę i górną granicę.

Wzory

Błąd standardowy średniej wynosi:

$$SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

Margines błędu skaluje błąd standardowy przez krytyczną wartość z:

$$E = z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

Przedział ufności dla średniej wynosi zatem:

$$\bar{x} \pm z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

Rozwiązane przykłady

Przykład 1: x̄ = 100, σ = 15, n = 36, 95%

Błąd standardowy wynosi:

$$SE = \frac{15}{\sqrt{36}} = \frac{15}{6} = 2.5$$

Przy z = 1,96 margines błędu wynosi:

$$E = 1.96 \times 2.5 = 4.9$$

Zatem 95-procentowy przedział ufności to [95,1, 104,9].

Przykład 2: x̄ = 50, σ = 10, n = 25, 99%

Błąd standardowy wynosi:

$$SE = \frac{10}{\sqrt{25}} = \frac{10}{5} = 2$$

Przy z = 2,576 margines błędu wynosi:

$$E = 2.576 \times 2 = 5.152$$

Zatem 99-procentowy przedział ufności to [44,848, 55,152].

Uwagi praktyczne

• Wyższy poziom ufności poszerza przedział: większa pewność, że uchwycono prawdziwą średnią, wymaga większego zakresu.
• Większa liczebność próby zawęża przedział, ponieważ błąd standardowy maleje wraz z √n.
• Przybliżenie z zakłada, że rozkład próbkowy średniej jest w przybliżeniu normalny. Dla małych prób z nieznanym odchyleniem standardowym dokładniejszy jest zwykle przedział t.
• Margines błędu jest symetryczny, więc przedział jest zawsze wyśrodkowany na średniej z próby.