Kalkulator wartości p

Co to jest wartość p?

Wartość p określa prawdopodobieństwo zaobserwowania wyników tak ekstremalnych jak te uzyskane w badaniu, przy założeniu, że hipoteza zerowa (H₀) jest prawdziwa. Odpowiada na pytanie: “Jeśli hipoteza zerowa jest prawdziwa, jak prawdopodobne są moje dane?”

Kluczowe definicje

• Hipoteza zerowa (H₀): Domyślne założenie (np. „brak efektu”).
• Hipoteza alternatywna (H₁): Teza badana (np. „efekt istnieje”).
• Statystyka testowa: Standaryzowana wartość (np. wynik Z, wynik t) obliczona z danych.

Kontekst historyczny

Wartość p spopularyzował Ronald Fisher w latach 20. XX w. Fisher zaproponował próg 0,05 dla istotności statystycznej – konwencja wciąż dyskutowana.

Wzory

Wartość p zależy od statystyki testowej i typu testu:

Wzór ogólny

$$\text{wartość p} = \begin{cases} P(S \leq x \mid H₀) & \text{(Lewostronny)} \\ P(S \geq x \mid H₀) & \text{(Prawostronny)} \\ 2 \times \min\left\{P(S \leq x \mid H₀), P(S \geq x \mid H₀)\right\} & \text{(Dwustronny)} \end{cases}$$

gdzie $S$ to statystyka testowa, a $x$ jej wartość.

Test Z

Dla testu Z z wynikiem $Z$:

$$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$$

• Lewostronny: $\Phi(Z)$
• Prawostronny: $1 - \Phi(Z)$
• Dwustronny: $2 \times \Phi(-|Z|)$

Test t

Dla testu t z wynikiem $t$ i $df = n-1$:

$$t = \frac{\bar{X} - \mu}{s / \sqrt{n}}$$

• Lewostronny: $T\_{df}(t)$
• Prawostronny: $1 - T\_{df}(t)$
• Dwustronny: $2 \times T\_{df}(-|t|)$

Test chi-kwadrat (χ²)

Dla χ² z $k$ stopniami swobody:

• Lewostronny: $\chi²\_{k}(x)$
• Prawostronny: $1 - \chi²\_{k}(x)$

Test F

Dla F z $(d₁, d₂)$ stopniami swobody:

• Lewostronny: $F\_{d₁,d₂}(x)$
• Prawostronny: $1 - F\_{d₁,d₂}(x)$

Przykłady

Przykład 1: Test Z dla średniej

Scenariusz: Fabryka twierdzi, że żarówki działają 1 200 h. Próba 50 żarówek ma $\bar{X} = 1 180$, $\sigma = 100$. Sprawdź, czy średnia jest niższa.
Rozwiązanie:

$$Z = \frac{1 180 - 1 200}{100 / \sqrt{50}} \approx -1,414$$

• Wartość p lewostronna: $\Phi(-1,414) \approx 0,078$
  Wniosek: Brak podstaw do odrzucenia H₀ przy $\alpha = 0,05$.

Przykład 2: Test chi-kwadrat na niezależność

Scenariusz: Badanie sprawdza, czy płeć (M/K) a preferencja (Tak/Nie) są niezależne. Zaobserwowano χ² = 6,25, $df = 1$.
Rozwiązanie:

• Wartość p prawostronna: $1 - \chi²\_{1}(6,25) \approx 0,012$
  Wniosek: Odrzucamy H₀ przy $\alpha = 0,05$.

Interpretacja

• wartość p < 0,01: Silne dowody przeciw H₀.
• 0,01 ≤ wartość p < 0,05: Umiarkowane dowody przeciw H₀.
• wartość p ≥ 0,05: Brak dowodów do odrzucenia H₀.

Błędy w interpretacji

1. Mit: Wysoka wartość p „dowodzi” H₀.
   Fakt: Wskazuje tylko na brak dowodów przeciw H₀.
2. Mit: wartość p = Prawdopodobieństwo, że H₀ jest prawdziwa.
   Fakt: Wartość p zakłada H₀; nie mierzy jej prawdopodobieństwa.

FAQ

Czy wartość p może być ujemna?

Nie. Wartość p to prawdopodobieństwo (0 ≤ p ≤ 1).

Jak interpretować wartość p 0,07?

Przy $\alpha = 0,05$ nie odrzucamy H₀. Wynik jest jednak marginalny i wymaga dalszych badań.

Dlaczego 0,05 to popularny poziom istotności?

Zaproponowany przez Fishera 0,05 równoważy błąd I rodzaju i czułość. Jest arbitralny i zależy od dziedziny (np. fizyka używa $5\sigma$, $p \approx 3 \times 10^{-7}$).

Jak wielkość próby wpływa na wartość p?

Duże próby ułatwiają wykrycie małych efektów. Zawsze podawaj wielkość efektu (np. d Cohena).

Różnica między testem jednostronnym a dwustronnym?

• Jednostronny: Testuje efekt w jednym kierunku (np. „większy niż”).
• Dwustronny: Testuje efekt w obu kierunkach. Używa $2 \times$ prawdopodobieństwa.