Calculadora de comprimento do arco

O que é uma calculadora de comprimento do arco?

Uma calculadora de comprimento do arco encontra o comprimento de um segmento curvo ao longo da borda de um círculo. O arco é a porção da circunferência situada entre dois pontos do círculo, e seu comprimento depende de dois fatores: a distância de cada ponto ao centro (o raio) e a amplitude do ângulo formado no centro entre eles (o ângulo central).

Esta calculadora funciona em três direções. Se você conhece o raio e o ângulo, ela retorna o comprimento do arco. Se você conhece o comprimento do arco e um dos outros dois valores, ela resolve o valor faltante. Você pode inserir o ângulo em graus ou radianos, e o raio e o comprimento do arco em qualquer unidade de medida de comprimento comum.

Conceitos chave

• Raio (r) — a distância do centro do círculo até um ponto em sua borda.
• Ângulo central (θ) — o ângulo formado no centro do círculo por dois raios traçados até as extremidades do arco.
• Comprimento do arco (L) — a distância percorrida ao longo da curva de uma extremidade do arco até a outra.
• Radiano — a unidade natural para ângulos nesta fórmula. Um radiano é o ângulo que delimita um arco cujo comprimento é igual ao raio. Um círculo completo equivale a $2\pi$ radianos, ou 360 graus.

Como funciona a calculadora?

A relação entre comprimento do arco, raio e ângulo central é linear quando o ângulo é expresso em radianos. A calculadora converte internamente o ângulo para radianos e, em seguida, aplica a fórmula na direção desejada pelo usuário.

Fórmulas

Se o ângulo estiver em radianos:

Se o ângulo estiver em graus:

Reorganizada para resolver o raio:

Reorganizada para resolver o ângulo:

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: comprimento do arco a partir do raio e do ângulo

Um círculo tem um raio de 10 cm e você quer o comprimento do arco subtendido por um ângulo central de 90°.

Exemplo 2: comprimento do arco a partir do raio e dos radianos

Para um raio de 5 m e um ângulo central de 2 radianos:

Exemplo 3: raio a partir do comprimento do arco e do ângulo

Um arco de 15,708 cm de comprimento é cortado por um ângulo de 90°. O raio é:

Exemplo 4: ângulo a partir do comprimento do arco e do raio

Um arco de 15,708 cm em um círculo de raio 10 cm corresponde a:

Exemplo 5: volta completa

Para um raio de 1 e um ângulo de 360°, o comprimento do arco é a circunferência completa do círculo: $L = 2\pi \cdot 1 \approx 6{,}2832$.

Usos práticos

• Engenharia e fabricação — traçar pistas curvas, tubos, correias ou polias onde um comprimento de material curvo deve corresponder a um ângulo conhecido.
• Construção e arquitetura — medir as bordas curvas de arcos, cúpulas ou seções de rotatórias.
• Topografia e cartografia — calcular distâncias ao longo das latitudes ou de fronteiras curvas.
• Costura e modelagem — calcular o tecido necessário para peças circulares ou godês (este é o mesmo cálculo que alimenta a calculadora de área de um setor circular).
• Esportes — encontrar a distância que um atleta percorre na parte curva de uma raia de pista.

Notas

• O raio e o ângulo devem ser ambos positivos para que o resultado seja significativo.
• Um ângulo de 0° resulta em um comprimento do arco igual a 0 — as duas extremidades coincidem.
• Ao resolver o raio a partir de um comprimento de arco e um ângulo, o ângulo não pode ser 0; ao resolver o ângulo, o raio não pode ser 0.
• As unidades do raio e do comprimento do arco coincidem: um raio em metros resulta em um comprimento de arco em metros. Mudar o seletor de unidades reconverte o resultado automaticamente.