Calculadora de fórmula quadrática

O que é uma calculadora de fórmula quadrática?

Uma calculadora de fórmula quadrática resolve uma equação quadrática da forma $a x^2 + b x + c = 0$ para encontrar suas raízes reais. Você insere os três coeficientes — o coeficiente líder $a$, o coeficiente linear $b$ e o termo constante $c$ — e a calculadora retorna o discriminante junto com as duas soluções reais $x_1$ e $x_2$, cada uma arredondada para quatro casas decimais.

Uma equação quadrática é uma equação polinomial de segundo grau, o que significa que a maior potência da incógnita é dois. Desde que $a \neq 0$, a equação descreve uma parábola, e suas raízes reais são exatamente os pontos onde essa parábola cruza o eixo horizontal.

Como funciona?

As raízes são encontradas com a fórmula quadrática:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

A expressão sob a raiz quadrada, $b^2 - 4ac$, é chamada de discriminante e geralmente é escrita como $\Delta$:

$\Delta = b^2 - 4ac$

O discriminante informa quantas raízes reais a equação tem antes mesmo de você calculá-las:

• Se $\Delta > 0$, há duas raízes reais distintas.
• Se $\Delta = 0$, há uma raiz real dupla (as duas soluções coincidem).
• Se $\Delta < 0$, não há raízes reais — as soluções formam um par complexo conjugado, então a calculadora deixa os campos das raízes vazios.

A calculadora também exige $a \neq 0$. Quando $a = 0$, a equação deixa de ser quadrática e passa a ser linear, então nenhuma raiz quadrática é informada.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — duas raízes. Resolva $x^2 - 3x + 2 = 0$, então $a = 1$, $b = -3$, $c = 2$.

$\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$

Isso dá $x_1 = 2$ e $x_2 = 1$.

Exemplo 2 — uma raiz dupla. Resolva $x^2 + 2x + 1 = 0$, então $a = 1$, $b = 2$, $c = 1$.

$\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4 - 4 = 0$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{0}}{2} = -1$

Ambas as raízes são iguais a $-1$, o único ponto onde a parábola toca o eixo.

Exemplo 3 — sem raízes reais. Resolva $x^2 + 1 = 0$, então $a = 1$, $b = 0$, $c = 1$.

$\Delta = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -4$

Como $\Delta < 0$, não há soluções reais, então a calculadora retorna apenas o discriminante e deixa os campos das raízes em branco.

Notas práticas

O sinal importa: insira $b$ e $c$ exatamente como aparecem, incluindo o sinal de menos, então digite -3 para $b$ no primeiro exemplo. Os resultados são arredondados para quatro casas decimais, o que costuma ser mais do que suficiente para a construção de gráficos, física e trabalhos de engenharia, mas significa que raízes irracionais como $\sqrt{2}$ são mostradas como sua aproximação decimal.

A fórmula quadrática está intimamente relacionada a outras ferramentas de álgebra. Depois de ter as raízes, você pode reconstruir a equação na forma fatorada $a(x - x_1)(x - x_2)$, que se conecta naturalmente a uma calculadora de fatores. A etapa da raiz quadrada no coração da fórmula generaliza a ideia por trás de uma calculadora de raiz cúbica, e os termos ao quadrado se relacionam com elevar números a potências por meio de uma calculadora de expoentes.